西湖高中高三文科数学周考卷201500316

班级 姓名 学号 分数 。

一、选择题：

1．设集合

+1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q=

A.

B.

（ ）

D.锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形

2y25. 已知双曲线2 2 1(a 0,b 0)的渐近线与圆C: (x

)2+y2=1相切，则双曲线的离ab

心率是 A.2

（ ）

B.3

（ ）

6. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在[,]上是单调函数，则ω应满足的条件是

A.0<ω≤1 B. ω≥1 C. 0<ω≤1或ω=3 D. 0<ω≤3

7. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(－x)，当0≤x≤1时，f(x)=x2，则f(2015)= （ ）

A.－1

B.1

C.0

D.20152

8. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知二面角A1－BD－A的大小为，若空间有一条直线l与

直线CC1所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是

（ ）

A.[,]

1212

B. [,]

122

C. [,]

1212

D. [0,]

2

二、填空题：

()x,x 0

9. 设函数f(x)= ，则f(－2)=

；

log2x,x 0

若f(a)=1，则实数a= .

10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n－a，则实数a= ，

公比q= .

11. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中俯视图中的

曲线是四分之一的圆弧，则该几何体的体积等于 cm3，

表面积等于 cm2.

（第11题图）

2y2 1的左右焦点，过右焦点F2的直线l: y=kx+m与椭圆C 12. 已知F1，F2是椭圆C: 相交于A，B两点，M是弦AB的中点，直线 OM（O为原点）的斜率为，则△ABF1

的周长等于 ，斜率k＝ .

13. 已知a，b∈R，若a2+b2－ab=2，则ab的最小值是

y 1

14. 若直线l: ax－by=1与不等式组 3x y 2 0表示的平面区域无公共点，则3a－2b的

3x y 2 0

最小值与最大值的和等于 .

15. 已知△ABC，AB=7，AC=8，BC=9，P为平面ABC内一点，满足PA PC 7，则|PB|

的取值范围是 .

三、解答题： 16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b=2，c=4，sinA=2sinB. (Ⅰ) 求△ABC的面积； (Ⅱ) 求sin(A－B)．

17．（15分）已知数列{an}的前n项和Sn，且满足：n∈N*.

(Ⅰ) 求an； (Ⅱ) 求证：

n，

123n12n

18．（分15分）如图，在四面休ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2， (Ⅰ) 求证：AC⊥BD； (Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C－AD－B的余弦值。

（第18题图）

19. （15分）已知抛物线C: y2=4x的焦点为F，点P(4，0). (Ⅰ)设Q是抛物线C上的动点，求|PQ|的最小值； (Ⅱ)过点P的直线l与抛物线C交于M、N两点，若△FMN的面积为

求直线l的方程。

20．（14分）已知函数f(x)=明；

（II）若函数g(x)=f(x)－2|x|－m有四个不同的零点，求实数m的取值范围.

x （I）判断函数f(x)在(－2，－1)上的单调性并加以证

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分.

9．4，2或0 10．1, 3 11．3 , 6 12 12． 8, 3

13．

2

14． 2 15．[4,10] 3

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分15分）

ab（I）解：由sinA=2sin

B及正弦定理得

=

sinAsinB

a=2b …… ……

……2分 又 a-b=2所以a=4,b=2

…… … ……3分

又 c=4所以DABC是等腰三角形

取底边AC的中点D，连BD，则高BD5分

所以

D

ABC的面积S （II）在RtD

ABD中，sinA=

1

AC BD ………7分 2

A

2

1A= 4

B1B sin2=4,cos2= …… …… ……10分

BB1sinB=2sin

?cos2224 cosB=cos2

BB217-sin2?-()2=………… ……12分 2248

sin(A B) sinA cosB cosA sinB …… …… ……13分

71 …… …… ……15分

8417．（本题满分15分）

（I）解：当n 1时，

1

1,即a1 2……………1分 a1 1

12n

L n……………① a1 1a2 1an 1

当n 2时， 12n 1

L n 1……………② ……………3

分 a1 1a2 1an 1 1由① ②得

n

1，即an n 1 (n 2)……………5分 an 1

……………………………………6分 an n 1 (n N*)

a 而没证明扣 （忘了求a1 2扣1分，猜想3分） n

（II）（方法一）证明：Qan an 1 1，所以数列 an 是等差数列。……7分

(a a)n(n 3)n

……………8分 Sn 1n

22

12211

……………10分 ( )

Snn(n 3)3nn 3

1111

S1S2Sn 1Sn

211111111

……………12分 [( )( ) ( ) ()]

3142536nn 3 211111

……………13分 [(1 ) ( )]

323n 1n 2n 3 211113

……………15分 (1 )

32392

（方法三）证明：Qan an 1 1，所以数列 an 是等差数列。 ………7分

(a a)n(n 3)n

……………8分 Sn 1n

22

12211

……………10分

Snn(n 3)n(n 2)nn 2

1111 S1S2Sn 1Sn

11111111

12分 () ) ( ……………)

1324n 1n 1nn 2 11111111

…………13分 ( ) ( )

123n34n 1n 2

1111

……………14分 ( ) ( )

12n 1n 2

3

……………15分

2

18．（本题满分15分） （I）证明（方法一）：∵ ABD CBD，AB BC，BD BD． ∴ ABD CBD． ∴AD CD．………………2分 取AC的中点E，连结BE,DE，则BE AC，DE AC．

………………………………………………………………3分

又∵BE DE E， ……………………………………4分 BE 平面BED，BD 平面BED，

∴AC 平面BED， ……………………………………5分

∴AC BD ………………………………………………6分

（方法二）：过C作CH⊥BD于点H．连接AH．…1分 ∵ ABD CBD，AB BC，BD BD． ∴ ABD CBD．∴ AH⊥BD．…………………3分 又∵AH CH H，……………………………………4分

AH 平面ACH，CH 平面ACH，

∴BD⊥平面ACH．……………………………………5分 又∵AC 平面ACH，

∴AC BD．……………………………………………6分 （方法三）： ( ) ………………2分

BC BD BA BD ………………………………3分

CBD ABD………4分

2BDcos60 2BDcos60 0，……………………5分 ∴AC BD．……………………………………………6分

（II）解：

过C作CH⊥BD于点H．则CH 平面BCD，

又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD 平面BCD＝BD， ∴CH⊥平面ABD． ……………………………………8分 过H做HK⊥AD于点K，连接CK． ………………9分 ∵CH⊥平面ABD，∴CH⊥AD，又HK CH H， ∴AD⊥平面CHK，∴CK⊥AD．…………………10分 ∴ CKH为二面角C AD B的平面角． …………11分 连接AH．∵ ABD CBD，∴ AH⊥BD．

∵ ABD CBD 60，AB BC 2，

53

，∴DH ． ………12分

22

AH DH∴AD

∴HK ．…………………………13分

ADCH21

∴tan CKH ，…………………………………………14分

HK3∴cos CKH ．

10

∴二面角C AD

B

∴AH CH

，BH 1．∵BD

19. （本题满分15分） （I）解：设Q(x,y)，则

| |PQ

…………… 当x 2时，|PQ|min ……………（II）解：设直线l:x=my+4，M(x1,y1),N(x2焦点F(1,0)

ìx=my+4ï由ï消去x得y2-4my-16=í2

ïïîy=4xìïy1+y2=4m

由韦达定理可得ï…………………………11分í ïyy=-16ïî12所以DFMN的面积

SDFMN=

=

1

|PF|?|y12

y2|=

1鬃32

………………13分

3

2

m 1 ……… ……………14分

所以直线l的方程为：x y 4 0 …………………………15分

（方法二）解：若直线l的斜率不存在，则l:x=4，M(4,4),N(4,-4)

所以DFMN的面积

SDFMN=

11|CF|?8=鬃38=12? …………………9分 22

所以直线l的斜率必存在

设直线l:y=k(x-4),(k?0)，M(x1,y1),N(x2,y2)，焦点F(1,0)

ìy=k(x-4)ï由ï消去y得k2x2-4(2k2+1)x+16k2=0………10分 í2

ïïîy=4xìï4(2k2+1)ïïx+x2=

由韦达定理可得í1…………………11分

k2

ïïïïîx1x2=16

弦长|MN|=

=

=

…………………12分

F到l

的距离d

所以DFMN的面积

．

…………………13分

SDFMN

1

=

|MN|?d=2

………………………14分

所以直线l的方程为：x y 4 0 …………………………15分

20．（本题满分14分）

ì1ïï+x, x>-2ïïx+2ï（I）解：函数f(x)=í…………………………1分

ï1ï -+x,x<-2，ïïx+2ïî

k 1

函数f(x)在在( 2, 1)上递减，………………………………2分

证明如下：

设x1,x2 ( 2, 1)，且x1 x2，则

f(x1) f(x2) (

11

) (x1 x2) x1 2x2 2

(x1 x2)[1

1

] ……………4分

(x1 2)(x2 2)

Q 2 x1 x2 1， x1 x2 0,0 (x1 2)(x2 2) 1 1

1

0

(x1 2)(x2 2)

f(x1) f(x2) 0即f(x1) f(x2)

所以函数f(x)在( 2, 1)上递减. ……………………6分

（II）解法一：

函数g(x)=f(x)-2x-m有四个零点

1

+x图像与函数y=2x+m图像有四个交点 ……7分 Û函数f(x)=

|x+2|

结合图像

(1) 当x 2 时， 函数f(x)=-

1

+x图像与函数y=2x+m图像恰有一个交点，……9分 x+2

(2)当x 2 时，为满足g(x)有4

图像与函数y=2x+m而f(x)=

11

+x(x>-2)过点(0,)， x+22

结合图像知则m

1

…………………………10分 2

1

+x(x>-2) x+2

当直线y=-2x+m与y=

相切时，在( 2, )内只有两个交点。

ì1ïïy=+x 1ï消去得+3x-m=0 yx+2í ïx+2ïïîy=-2x+m

3x2+(6-m)x+1-2m=0 \D=(6-m)2创3(1-2m)=0 解得m=-6-，m=-6+

1

\当m?(6+)时，函数g(x)有4个零点……………….…14分

2解法二：

函数g(x)=f(x)-2x-m有四个零点

1

+x-2|x|-m=0有四个实根 Û方程

|x+2|

Û函数h(x)=

1

图像与函数y=2x-x+m图像有四个交点 |x+2|

Û函数

h(x) (1)当x 0 若函数h(x)=

个交点，则(2) 当x 0 与函数y像恰好有则m

1

2

当直线y=-3在( ,0)内只有两个交点。

ì1ïïy= (x>-2) 1ï消去得=-3x+m 整理得3x2+(6-m)x+1-2m=0 yx+2í ïx+2ïïîy=-3x+m

\D=(6-m)2-4创3(1-2m)=0 解得m=-6-，m=-6+ …………………13分

1

\当m?(6+)时，函数g(x)有4个零点……………….…14分

2

解法三：

函数g(x)有4个不同零点，即方程方程化为：①

1

＋x 2|x| m 0有4个不同的实根． x 2

x 0

2

x (m 2)x (2m 1) 0

x 2 2 <x 0 与② 2与③ ……7分 2

3x (6 m)x (2m 1) 03x (6 m)x (2m 1) 0

记v(x) x2 (m 2)x (2m 1)，u(x) 3x2 (6 m)x (2m 1), w(x) 3x2 (6 m)x (2m 1)u(x),v(x),w(x)开口均向上． 对①：由v( 2) 1 0知v(x)在[0, )最多一个零点．

1

当v(0) 2m 1 0，即m 时，v(x)在[0, )上有一个零点

21

当v(0) 2m 1 0，即m 时，v(x)在[0, )没有零点。 ………………9分

2

对②：由u( 2) 1 0知u(x)在( , 2)有唯一零点．…………………10分 对③：为满足g(x)有4个零点，w(x)在( 2,0)应有两个不同零点．

w(0) 1 2m 0

∴

w( 2) 1 0 2

(6 m) 12(1 2m) 0 6 m 2 0

6

6 m

1

．…………………13分

2