积分变换习题解答

积分变换 东南大学 张元林 第四版 南京工学院 习题 解答 详解

傅氏变换习题解答

习题一

1．试证：若f(t)满足傅氏积分定理的条件，则有 其中

f(t)=∫

+∞

a(ω)cosωtdω+∫b(ω)sinωtdω

+∞

a(ω)=

1

π

1

∫∫

+∞

∞+∞

f(τ)cosωτdτ,

b(ω)=

证 f(t)=

π

∞

f(τ)sinωτdτ

12π

+∞ ∞

∫∫

∞+∞ ∞

+∞+∞

∞

f(τ)e jωτdτejωtdω=

12π

∫∫

∞

+∞+∞

∞

f(τ)(cosωτ jsinωτ)cosωtdτdω

+∞

1

+

2π +∫

因

+∞ ∞

∫∫

π∫

1

f(τ)(cosωτ jsinωτ)jsinωtdτdω=∫

+∞0

1

π

∫

+∞

∞+∞

f(τ)cosωτdτcosωtdω

+∞

∞

f(τ)sinωτdτsinωtdω=∫a(ω)cosωtdω+∫b(ω)sinωtdω

+∞

∫

+∞

∞

f(τ)sinωτcosωtdτdω为ω的奇函数，∫

∞

f(τ)cosωτcosωtdτdω为ω的偶函数。

2．试证：若f(t)满足傅氏积分定理的条件，当f(t)为奇函数时，则有

f(t)=b(ω)sin(ωt)dω

∫

+∞

其中

b(ω)=

当f(t)为偶函数时，则有

2

π

∫

+∞

f(τ)sin(ωτ)dτ

f(t)=∫a(ω)cos(ωt)dω

+∞

其中

a(ω)=

证 设f(t)是奇函数

π∫

2

+∞

f(τ)cos(ωτ)dτ

1

f(t)=

2π

∫∫

∞

+∞+∞

∞+∞

f(τ)e

jωτ

1

dτedω=

2π

jωt

∫∫

∞

+∞+∞

∞

f(τ)(cosωτ jsinωτ)dτejωtdω

==

πj∫ ∞

1

∫

+∞

f(τ)sinωτdτejωtdω=

1+∞jωt

（b(ω)是ω的奇函数） bωedω。()∫ ∞2j

+∞1+∞

bcostjsintdb(ω)sinωtdω ωω+ωω=()()∫∫ ∞02j

设f(t)是偶函数

积分变换 东南大学 张元林 第四版 南京工学院 习题 解答 详解

1

f(t)=

∫∫

+∞+∞

f(τ)e jωτ

1

dτedω=

jωt

∫∫

+∞+∞

f(τ)(cosωτ jsinωτ)dτejωtdω

2π

∞

∞

2π

∞

∞

=

1+∞2

∫ ∞a(ω)ejωt

dω=∫+∞0a(ω)cosωtdω a(ω)是ω的偶函数。（注也可由1题推证2题）

3．在题2中，设f(t)=

1,|t|≤1

0,|t|>1

，试算出a(ω)，并推证

π

2,|t|<1∫+∞sinωcosωt

ωω= π

,|t|=1

4 0,|t|>1

证 f(t)是偶函数

a(ω)=

2+∞2sinωt1π∫0f(t)cosωtdt=πω0=2sinω

πω

f(t)=∫

+∞0

a(ω)cosωtdω=

2∫+∞sinωcosωt

π0ω

dω

π2|t|<1所以

∫+∞sinωcosωt

ωdω=π π0+1π

2f(t)= 22

=|t|=1。 4 0|t|>1

习题二

1． 求矩形脉冲函数f(t)=

A,0≤t≤τ

0,其他的傅氏变换。

解

F(ω)=¶ f(t) =

∫+∞ jωτ jωt ∞f(t)et

dt=∫0Aedt

e

jωtτ

ωτωτ

=A0

e i 11 e j jω=A jω=A

jω

2． 求下列函数的傅氏积分：

0,（1）f(t)= 1 t2,t2<12 （2）f(t)= 0,

t<0e tsin2t,t≥0 （3）f(t)=

1, 0,

t>1 1,

0,解 （1）函数f(t)= 1 t2,|t|<1

满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为

0,|t|>1 ∞<t< 1

1<t<00<t<11<t<+∞

积分变换 东南大学 张元林 第四版 南京工学院 习题 解答 详解

1

f(t)=

2π=

=

∫∫

∞+∞

10

+∞+∞

∞

f(t) e

2

iωt

1

dtedω=

2π

iωtiωt

∫∫(1 t) e

2

+∞1

iωt

∞ 1

dteiωtdω

2

1

(1 t)cosωtdte

π∫∫

∞

1

dω=

1

π

∫

4

+∞

∞

sinωt ω 2tcosωt2sinωttsinωt iωt + edω] 23

ωωω 0

1

π

∫

+∞

2(sinω ωcosω)

∞

ω3

edω=

iωt

π

∫

+∞

sinω ωcosω

ω3

cosωtdω

t<0 0,

（2）f(t)= t满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为

esin2t,t0≥

1f(t)=

2π

1=2π

∫∫

∞+∞ ∞

+∞+∞

∞

f(t)e

t

iωt

1+∞+∞ t

dtedω=esin2te iωtdteiωtdω ∫∫2π ∞0

iωt

∫∫

+∞

1+∞+∞ t+i(2 ω)t t i(2+ω)tei2t e i2t iωtiωtiωt

e edtedω eedtedω=

4πi∫ ∞∫02i

()

1+i(2 ω) 1 i(2+ω) t t 1+∞ e e iωtedω = ∫ ∞4πi 1+i2 ω 1 i2+ω 0

+∞

=

4πi∫ ∞

1

+∞

iωt 1 1

edω

+ +ωω1i21i2

2

===

1

π

1

∫∫

+∞

(5 ω) 2ωi

25 6ω2+ω4

2

∞

(cosωt+isinωt)dω

π∫ ∞

+∞

+∞

π

2

∞

(5 ω)cosωt+2ωsinωtdω+i

25 6ω2+ω4

2

(5 ω)sinωt 2ωcosωtdω

2

25 6ω2+ω4

π

∫

+∞

(5 ω)cosωt+2ωsinωtdω

25 6ω2+ω4

是奇函数，满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为

1, 1<t<0

（3）函数f(t)= 1,0<t<1

0,其他

f(t)=

1

2π

∫∫

∞

+∞ …… 此处隐藏：13436字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……