大一高数期末复习课提纲

第一章 极限与连续 单调有界必有极限 极限存在准则 夹逼定理 sin x =1 lim x→0 x 两类重要极限 1 x lim(1 + ) = e x→∞ x 有限个无穷小的和,积仍是无穷小 有限个无穷小的和 积仍是无穷小 无穷小性质 无穷小与有界量的积仍是无穷小 与 无穷大比较 (高阶 低阶 同阶 等价 k 阶) 高阶, 同阶, 高阶 低阶,同阶 等价,

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常用等价无穷小e 1x

当 x → 0,

~x sin x ~ x tan x ~ x ln(1 + x ) ~ ~

~ x ln a arcsin x ~ x arctan x ~ xx

ax 1

(1 + x )α 12

~ αx ~x3 22

1 cos x

x 2

tan x sin x

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通分; 同除最高次幂; (1) 消去零因子法 (2) 同除最高次幂 (3) 通分 消去零因子法; 函 数 极 限 的 求 法 (4) 同乘共轭因式 (5) 利用无穷小运算性质 同乘共轭因式; (6) 复合函数求极限法则 (7) 利用左,右极限求分段函数极限 利用左,右极限求分段函数极限; (8) 利用夹逼定理 利用夹逼定理; (9) 利用两类重要极限 利用两类重要极限; (10) 利用 ; 无穷小 (11) 利用 (12) 利用 性质( 函数 性质 法则. 法则 法则+ 法则 法则+ 法则 法); 法

无穷小 限 分求3

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1 + tan x 1 + sin x 例 lim x→0 e tan x e sin x tan x sin x = lim x → 0 ( 1 + tan x + 1 + sin x )(e tan x e sin x )tan x sin x 1 tan x sin x 1 = lim sin x tan x sin x = lim tan x sin x 2 x → 0 e (e 1) 2 x→0 e e当 x → 0, e tan x sin x 1 ~ tan x sin x , 1 tan x sin x 故 原式 = lim sin x tan x sin x 2 x → 0 e (e 1)

1 tan x sin x 1 = lim sin x = 2 x → 0 e (tan x sin x ) 2

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两对重要的单侧极限(a > 1)x →0

lim a = 0,

1 x

x →0

lim+ a = ∞ ,

1 x

1 π 1 π lim arctan = , lim+ arctan = . x→0 x 2 x 2 x→0

一类需要注意的极限lim x2 + 1 = 1, x lim x2 + 1 = 1. x5

x → ∞

x → +∞

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连续 定 x→x0 的 义 左连续,右连续 左连续, 第一类间断 (可去型 跳跃型 可去型, 可去型 跳跃型) 间断点的分类 无穷型, 无穷型 振荡型) 第二类间断 (无穷型 振荡型 最大 最小值定理 最大,最小值定理 闭区间连续函数的性质有界性 介值定理 零点定理 介值定理,

lim f ( x) = f ( x0 )

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例 求 f ( x) =

1x 1 x

的间断点 , 并指出其类型 并指出其类型.

1 e 解 当x = 0, x = 1时, 函数无定义 是函数的间断点 函数无定义, 是函数的间断点. 1 = ∞, x = 0, 由于 lim f ( x ) = lim x x→ 0 → x →0 1 x 1 e 是函数的第二类间断点 且是无穷型 第二类间断点, 无穷型. 所以 x = 0 是函数的第二类间断点 且是无穷型 1 由于 lim f ( x ) = lim x = 1, =0 x x →1 x →1 1 x → +∞ 1 e 1 lim f ( x ) = lim =1 x + + x →1 x →1 1 x → ∞ 1 e 所以 x = 1 是函数的第一类间断点 且是跳跃型 是函数的第一类间断点 且是跳跃型 第一类间断点, 跳跃型.

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例求

的间断点, 的间断点, 并判别其类型. 并判别其类型.

解 x = 1, x = 1, x = 0是间

断点, 是间断点,

1 (1+ x)sin x = sin1, lim x = 1, x→1 x ( x + 1)( x 1) 2x = –1为第一类可去间断点 为第一类可去间断点

x = 1, lim f ( x) = ∞, x→1x = 1为第二类无穷间断点 为第二类无穷间断点

x = 0, lim f ( x) = 1, lim f ( x) = 1. +x→0 x→0

x = 0为第一类跳跃间断点 为第一类跳跃间断点8

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例 求 = y

2 11 x

1 x

2 +1 . 并判断其类型

1 , + sin( x 1)sin 的间断点 x 1

. 解: 可知x = 0,x = 1是可能的间断点 (1) 在x = 0处,x →0

lim y = 1 + sin 2 ( 1), + y = 1 + sin 2 ( 1) lim x →0

x , 但不相等, 但不相等, 因在 = 0处的左右极限都存在所以x = 0为函数的第一类间断点 , 且是跳跃间断点 .9

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( 2) 在x = 1处,

lim y = lim[x→1 x→1

2 1 2 +11 x

1 x

1 1 ]= + sin( x 1) sin x 1 3

即在 = 1处函数的左右极限都存 x 在且相等, 在且相等,所以x = 1是函数的第一类间断点 , 且是可去间断点 .

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a (1 cos x) x2例 设函数

连续, 在x = 0连续,则a= 连续

= 2 ,b=

e .

a (1 cos x) a = 提示: 提示: f (0 ) = lim 2 x→0 2 x

f (0 ) = lim ln(b + x ) = ln b ++ 2 x→0

a = 1 = ln b 2

1 2 1 cos x ~ x 211

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1 2 x sin , 例 讨论 f ( x ) = x 0,

x≠0 x=0

在x = 0处的连续性与可导性 . 处的连续性与可导性

e ax , x≤0 处处可导, 那么 例 如果 f ( x ) = b(1 x 2 ), x > 0 ( )( A) (C ) a = b = 1; a = 1, b = 0; ( B) ( D) a = 2, b = 1; a = 0, b = 1.

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第二章 导数与微分′ ′ 左导数 f ( x0 ), 右导数 f+ ( x0 ) 定义 导数存在的充要条件 导数 几何意义 切线斜率k = f ′( x0 ) 可导 可导性与连续性的关系 可导连续

微分

求微分 dy = f ′( x0 )dx 可导与微分的关系 可导 可微 可导

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按定义求导 复合函数求导 求导数方法 , 隐函数 参数方程求导 对数法求导 分段函数在分段点求导 1 x 高阶导数 (sin x,cos x,e , ) 1 x

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x = (t ) 求导数: 参数方程 求导数: y =ψ (t ) dy dy dt ψ ′( t ) = = dx dx ′( t ) dt ψ ′(t ) dy d( ) d( ) dy ′(t ) dx d( ) 2 d y dx = dt dt = = 2 dx dx dx dx dt dt15

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第三章 微分中值定理及其应用 罗尔定理 拉格朗日中值定理 中值定理 柯西中值定理 泰勒定理(泰勒公式,麦克劳林公式 ) 泰勒公式 0 ∞ ( 洛必达法则 计算 , , ∞ ∞, 1∞ 等未定型极限) 0 ∞ 证明不等式 中值定理的应用 数 讨论方程根的存在与个 16