大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案

仅供学习研究,切勿他用

高等数学I （大一第一学期期末考试题及答案）

1. 当x x0时， x , x 都是无穷小，则当x x0时（ D ）不一定是

无穷小. (A) (C)

x x

(B) (D)

2

x 2 x

(x)

ln 1 (x) (x)

1

2

(x)

sinx x alim x asina 2. 极限的值是（ C ）.

（A） 1 （B） e

x 0x 0

（C） e

cota

（D） e

tana

sinx e2ax 1

f(x) x

a 3.

在x 0处连续，则a =（ D ）. （C） e

lim

h

（A） 1

4. 设

（B） 0 （D） 1

f(a h) f(a 2h)

f(x)在点x a处可导，那么h 0

（ A ）.

（A） 3f (a)

f (a)

（B） 2f (a)

13f (a)

(C) （D）

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 极限x 06. 由

e

xy

lim

ln(x a) lna

x

(a 0)

1

的值是 a.

y(x)，则导函数y

ylnx cos2x

确定函数

x . xy

xe lnx

7. 直线l过点M(1,2,3)且与两平面x 2y z 0,2x 3y 5z 6都平行，则直

x 1

2sin2x

y

ye

xy

线l的方程为

8. 求函数

1

2

y 2 1

z 3 1

.

的单调递增区间为 （－ ，0）和（1，+ ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

1

y 2x ln(4x)

9. 计算极限x 0

lim

(1 x)x e

x

.

仅供学习研究,切勿他用

11

解：x 0

lim

(1 x)x e

x

elim

ex

ln(1 x) 1

1

x 0

x

elim

x

ln(1 x) x

x

2

x 0

e2

F(x)

10. 设f(x)在[a，b]上连续，且

x

x

(x t)f(t)dt

a

x [a,b]

，试求出F (x)。

解：

F(x) x f(t)dt tf(t)dt

a

x

a

x

F (x)

a

f(t)dt xf(x) xf(x)

cosxsinx

3

a

f(t)dt

F (x) f(x)

11. 求

解

x.

：

s

2

x

cs

12

3

xx

2

oi

i

d

x

12

i

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

2

xs

2

2

dxxx 1

2

12. 求

令　

1x

3

.

11t

1t

2

t

原式

1232

( 1

1t

2

)dt

3

3

212

dt1 t

y

2

arcsint

212

2x

2

6

1 x 的极值与拐点. 13. 求函数

解：函数的定义域（－ ，+ ）

y

2(1 x)(1 x)(1 x)

2

2

y

4x(3 x)(1 x)

2

3

2

令y 0得 x 1 = 1, x 2 = -1

y (1) 0 x = 1是极大值点，y ( 1) 0x = -1是极小值点

1 2

极大值y(1) 1，极小值y( 1) 1

y 033

仅供学习研究,切勿他用

3

3

2

3

故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2） 14. 求由曲线解:

x

3

y

2

x

4与y 3x x所围成的平面图形的面积.

3

2

4

3x x,　x 12x 4x 0,

x(x 6)(x 2) 0,　　x1 6,　x2 0,　　x3 2.

33

02xx22

S ( 3x x)dx (3x x )dx

6044 (

x

4

16

32

1

3

x

47

2

x

1

3

3

)

0 6

(

32

x

2

x

3

3

x

4

16

)

20

45 2

15. 设抛物线

3

2

y 4 x上有两点A( 1,3)，B(3, 5)，在弧

A B上，求一点

P(x,y)使 ABP

的面积最大.

x 2x 3

2

AB连线方程：y 2x 1 0　　AB 45点P到AB的距离 ABP的面积

2x y 1

2

　( 1 x 3)

12 45

x 2x 3

5

2( x 2x 3)

2

　　　S(x)

　　　S (x) 4x 4　当x 1　　S (x) 0 　　　S (x) 4 0

当x 1时S(x)取得极大值也是最大值

此时y 3　　所求点为(1，3)

另解：由于 ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4 x0),使f (x0) 2x0 5 2

六、证明题（本大题4分）

16. 设x 0，试证e

2x

3 1

2,　解得x0 1,所求C点为(1,3)

(1 x) 1 x

.

f (x) 0，因此f (x)在（0，

2x

证明：设f(x) e

2x

(1 x) (1 x),x 0

2x2x

f (x) e(1 2x) 1，f (x) 4xe，x 0,

+ ）内递减。在（0，+ ）内，f (x) f (0) 0,f(x)在（0，+ ）内递减，在（0，+ ）内，f(x) f(0),即e

e

2x

2x

(1 x) (1 x) 0亦即当 x>0时，e(1 x) 1 x

试证

(1 x) 1 x.