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§3.4数列求和 考点透析 基础自测 典例精析 方法总结 同步测试

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考点透析1

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1、在求数列的前n项和Sn时，要掌握以下几 种常用方法：递推公式 通项公式

数 列

等差 等比 定义

分 组 求 合 法

倒 置 相 加 法

错 位 相 减 法

裂 项 求 和 法

数 学 归 纳 法

构 造 法

递 归 法

迭 代 法

叠 加 、 乘 法

求和

性质

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考点透析2

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2、掌握一些常见数列的前n项和公式：n ( n 1) (1)、 1 2 3 4 n 2 2

2 1、公式求和法:对等差数列、等比数列或 可以转化成等差、等比数列的数列,求前n项 和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式 进行求解.

(4)、 1 2 3 n [3 3 3 3

(2)、 1 3 5 (2n 1) n 1 2 2 2 2 (3)、 1 2 3 n n (n 1)( 2n 1) 6n (n 1)

]

2

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考点透析3

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3、对通项公式中含有(一1)n的一类数 列，在求Sn时要注意讨论n的奇偶性。 方法： (1)S奇+S偶 (2)奇偶配对 注意： (1)奇偶项数 (2)公差、公比

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一、裂项相消法①:

1 1 1 an n( n 1) n n 1

常用的消项变换有：

②:

1 1 1 1 an ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1

1 ③ : an n 1 n n 1 n an n n! (n 1)! n! ④:

1 1 1 1 an [ ] ⑤: n(n 1)( n 2) 2 n(n 1) (n 1)( n 2) 1 ⑥: a n n(n 1) 3 [n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1)]

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例4、求

1 1 1 1 Sn 2 5 21 45 4n 4n 3

1 1 an 2 解：其“通项” 4n 4n 3 (2n 1)( 2n 3) 1 1 1 ( ) 4 2n 1 2n 3

1 1 1 1 1 1 1 1 ) ∴ S n [(1 ) ( ) ( ) ( 4 5 3 7 5 9 2n 3 2n 1

n(4n 5) 1 1 1 1 (1 ) 4 3 2n 1 2n 3 3(2n 1)(2n 3)

1 1 ( )] 2n 1 2 n 3

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二、 倒序相加法 课本等差数列前n项和 公式 S n就是用倒序相加法推导的。例5、已知数列{a n } 是首项为1,公差为2的等差 0 1 2 n 数列，求 S n Cn a1 Cn a2 Cn a3 Cn an 1 k n k 分析：注意到 Cn Cn 且当m+n=p+q时， 有： a m a n a p a q(等差数列的性质) 解：Sn C a C a C a C a0 1 2 n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n n 1 n n n n 1 n n n 1

,又0 n 1

Sn C a C a C a C a

0 1 n n 两式相加得： 2Sn (a1 an 1)(Cn Cn Cn ) (a1 an 1) 2 ∴ n 1 n 1 n

Sn (a1 an 1) 2 (2 2n) 2 (n 1) 2

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三、错位相消法 课本推导等比数列前n项和公式的 方法。利用S n qS n可

求两类数列的和，其通项分 别是： 系数是等差数列 分子是等差数列 (Ⅰ) 字母是等比数列 (Ⅱ) 分母是等比数列

例6、求数列

1 3 5 7 2n 1 解：S n (1) n 2 4 8 16 2 1 1 3 5 2n 3 2n 1 Sn n 1 (2) n 2 4 8 16 2 2

1 3 2n 1 , , , , 的前n项和 n 2 4 2

1 1 2 2 2 2 2n 1 (1)-(2),得 2 S n 2 4 8 16 2 n 2 n 1 1 1 1 2n 1 2n 3 S n 2 n 2 n 3 n 2 4 2 2 2

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四、 并项法 n 1 2 例7,已知数列 {a } 的通项 a n ( 1) n , 求数列前2n项和 S 2 n 2 2 2 2 2 2 解： S 2n 1 2 3 4 (2n 1) (2n) 2 2 令 bn a2n 1 a2n (2n 1) (2n) 4n 1 ∴{bn }是首项为-3,公差为-4的等差数列 ∴ S2 n b1 b2 bnn

3 7 11 4n 1 n( 2n 1)

评注：用并项法把相邻的一正一负两项并作 一项，从而使通项降次，得以转化为等差数 列求解。