2010年高考数学试题分类汇编——立体几何 2010年高考数学试题分类汇编——立体几何

AC BC，AA1 AB，D为（2010全国卷2理数）（19）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，

BB1的中点，E为AB1上的一点，AE 3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角

A1 AC1 B1的大小．

【参考答案】

(19)解法一：

（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. 3分

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=

，DG=

，CG=

，AC=

.

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角

.

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处. （2010陕西文数）18.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

解 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC. 又BC∥AD,∴EF∥AD,

又∵AD 平面PAD,EF 平面PAD, ∴EF∥平面PAD.

(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G, 则BG⊥平面ABCD,且EG=

1

PA. 2

在△PAB中，AD=AB, PAB°,BP=2,∴AP=AB

EG

∴S△ABC=

11

AB·BC=

22

111S△ABC·EG=

=. 33

3

∴VE-ABC=

（2010辽宁文数）（19）（本小题满分12分）

如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C A1B

平面A1BC1； （Ⅰ）证明：平面ABC1

（Ⅱ）设D是AC11上的点，且A1B//平面B1CD，求

A1D:DC1的值.

解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C BC1

又已知B1C A1B,且A1B BC1 B

所又B1C 平面A1BC1，又B1C 平面AB1C ， 所以平面AB1C 平面A1BC1 .

（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，

则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线， 因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE. 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点. 即A1D：DC1=1. （2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,

1 11（Ⅰ）CM (1, 1,),SN ( , ,0),

222

11

因为CM SN 0 0，

22

所以CM⊥SN 6分

111），N（,0,0），S（1,,0）. 4分 222

1

（Ⅱ）NC ( ,1,0),

2

设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

1 x y z 0, 2

令x 2，得a=(2,1,-2). 9分

则

1 x y 0. 2

因为cosa,SN

所以SN与片面CMN所成角为45°。 12分

（2010全国卷2文数）（19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC=BC， AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3 EB1 （Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1-AC1-B1的大小

【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。

（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。

（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为 FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。

（2010江西理数）20. （本小题满分12分）

如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD

，AB （1） 求点A到平面MBC的距离；

（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。 【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，

OM⊥CD.又平面MCD 平面BCD,则MO⊥平面BCD，

所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO

MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OH BC于H，连MH，则MH BC，求得：

OH=OCsin600

=

,MH=,

利用体积相等得：VA MBC VM ABC d 。

52

2