2010年高考数学试题分类汇编——立体几何 2010年高考数学试题分类汇编——立体几何

AC BC，AA1 AB，D为（2010全国卷2理数）（19）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，

BB1的中点，E为AB1上的一点，AE 3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角

A1 AC1 B1的大小．

【参考答案】

(19)解法一：

（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. 3分

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=

，DG=

，CG=

，AC=

.

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角

.

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处. （2010陕西文数）18.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

解 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC. 又BC∥AD,∴EF∥AD,

又∵AD 平面PAD,EF 平面PAD, ∴EF∥平面PAD.

(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G, 则BG⊥平面ABCD,且EG=

1

PA. 2

在△PAB中，AD=AB, PAB°,BP=2,∴AP=AB

EG

∴S△ABC=

11

AB·BC=

22

111S△ABC·EG=

=. 33

3

∴VE-ABC=

（2010辽宁文数）（19）（本小题满分12分）

如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C A1B

平面A1BC1； （Ⅰ）证明：平面ABC1

（Ⅱ）设D是AC11上的点，且A1B//平面B1CD，求

A1D:DC1的值.

解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C BC1

又已知B1C A1B,且A1B BC1 B

所又B1C 平面A1BC1，又B1C 平面AB1C ， 所以平面AB1C 平面A1BC1 .

（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，

则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线， 因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE. 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点. 即A1D：DC1=1. （2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,

1 11（Ⅰ）CM (1, 1,),SN ( , ,0),

222

11

因为CM SN 0 0，

22

所以CM⊥SN 6分

111），N（,0,0），S（1,,0）. 4分 222

1

（Ⅱ）NC ( ,1,0),

2

设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

1 x y z 0, 2

令x 2，得a=(2,1,-2). 9分

则

1 x y 0. 2

因为cosa,SN

所以SN与片面CMN所成角为45°。 12分

（2010全国卷2文数）（19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC=BC， AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3 EB1 （Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1-AC1-B1的大小

【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。

（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。

（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为 FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。

（2010江西理数）20. （本小题满分12分）

如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD

，AB （1） 求点A到平面MBC的距离；

（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。 【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，

OM⊥CD.又平面MCD 平面BCD,则MO⊥平面BCD，

所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO

MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OH BC于H，连MH，则MH BC，求得：

OH=OCsin600

=

,MH=,

利用体积相等得：VA MBC VM ABC d 。

52

2

（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为

.

因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

BF BC sin60

AB

2，sin

BF5

所以，所求二面角的正弦值是.

5tan

【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决

解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD 平面BCD,则MO⊥平面BCD.

以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.

OB=OM

=O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0

，B（0，

0），A（0，

，

A

B

（1）设n (x,y,z)是平面MBC的法向量，

则

D

，

BM ，由n BC得x 0；由

n BM

0；取n 1,1),BA ，则距离

BA nd 5n

（

2）CM ( 1，CA ( 1,.

n1 CM x 0

设平面ACM的法向量为n1 (x,y,z)，由

.

解得

得

x 0 n1 CA

x ，y

z，取n1 ,1,.1又)平面BCD的法向量为n (0,0,1)，

则

n nco sn1n ,1

n1 n

设所求二面角为

，则sin . 【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立

恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎

（2010安徽文数）19.(本小题满分13分) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H

EF

为BC的中点，

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;

D（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB; C

（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

A

【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得FH∥平面EDB；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，AC 平面EDB；（3）证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.

(1)证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG,GH，由于H为BC的中点，故

1GH//AB,

21

又EF//AB, 四边形EFGH为平行四边形

2

EG//FH，而EG 平面EDB， FH//平面EDB

【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. （2010重庆文数）（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）

如题（20）图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD

，

PA ABE是棱PB的中点.

（Ⅰ）证明：AE 平面PBC；

（Ⅱ）若AD 1，求二面角B EC D的平面角的余弦值.

（2010浙江文数）（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。

（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；

（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。

（2010重庆理数）（19）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）

如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD，

，点E是棱PB的中点。 （I） 求直线AD与平面PBC的距离； （II）

若

A-EC-D的平面角的余弦值。

（2010山东文数）（20）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，

MA 平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且

AD PD 2MA.

（I）求证：平面EFG 平面PDC；

（II）求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积 之比.

（2010北京文数）（17）（本小题共13分）

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互直。

EF//AC，

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF; 证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=

相

垂

1

AG=1 2

所以四边形AGEF为平行四边形 所以AF∥EG

因为EG 平面BDE,AF 平面BDE, 所以AF∥平面BDE （Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.