第二讲：代数式的化简求值问题

一、知识链接

1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1．若多项式2mx2 x2 5x 8 7x2 3y 5x的值与x无关， 求m2 2m2 5m 4 m的值.

分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零

因为2mx2 x2 5x 8 7x2 3y 5x 2m 8 x2 3y 8

所以 m=4

将m=4代人，m2 2m2 5m 4 m m2 4m 4 16 16 4 4

利用“整体思想”求代数式的值

5353例2．x=-2时，代数式ax bx cx 6的值为8，求当x=2时，代数式ax bx cx 6

的值。

53分析： 因为ax bx cx 6 8

5353当x=-2时， 2a 2b 2c 6 8 得到2a 2b 2c 6 8，

53所以2a 2b 2c 8 6 14

5353当x=2时，ax bx cx 6=2a 2b 2c 6 ( 14) 6 20

22例3．当代数式x 3x 5的值为7时,求代数式3x 9x 2的值.

分析：观察两个代数式的系数

由x2 3x 5 7 得x2 3x 2 ，利用方程同解原理，得3x2 9x 6

整体代人，3x2 9x 2 4

代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。

例4． 已知a2 a 1 0，求a3 2a2 2007的值.

分析：解法一（整体代人）：由a2 a 1 0 得 a3 a2 a 0

所以： a3 2a2 2007

a3 a2 a2 2007 2 a a 2007解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。

1 2007由a a 1 0，得a2 1 a， 2008

所以： a3 2a2 20072

a2a 2a2 2007 (1 a)a 2a2 2007 a a2 2a2 2007 a a2 2007 1 2007 2008

2解法三（降次、消元）：a a 1（消元、、减项）

a3 2a2 2007

a3 a2 a2 2007

a(a2 a) a2 2007

a a 2007

1 2007

20082

例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？

分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）

第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050

第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250

第n年：A公司 10000+200(n-1）；

B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]

=10050+200(n-1)

由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。

例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x abcabacbc， abcabacbc则 ax3 bx2 cx 1的值是_______ 。

解：因为abc<0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数

又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。

不妨设a<0，b>0，c>0

则ab<0，ac<0，bc>0

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。

同理，当b<0，c<0时，x=0。

另：观察代数式 abcabacbc，交换a、b、c的位置，我们发现代 abcabacbc

数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题：

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始

按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7， ． （1）“17”在射线 ____上， “2008”在射线___________上． （2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的 代数式表示为__________________________． 分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，

观察得出，这列数的后一项总比前一项多6， 归纳得到，这列数可以表示为6n-5

因为17=3×6-1，所以17在射线OE上。

因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD上

例8． 将正奇数按下表排成5列:

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

第一行 1 3 5 7

第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23

第四行 31 29 27 25

根据上面规律，2007应在

A．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列

分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找

第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5

因为2007=250×8+7=251×8-1

所以，2007应该出现在第一列或第五列

又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，

所以2007应该在第251行第5列

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；

nn

kk②当n为偶数时，结果为2（其中k是使2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例

如，取n＝26，则：

F② 第一次 F① 第二次 F② 第三次 26 13 44 11

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．

n

k分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为2

n

k（其中k是使2 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。

449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169，

169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1，

1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，

我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。

再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，

所以，结果是8。

三、小结

用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。