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研一研·题型解法、解题更高效

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题型一本 课 时 栏 目 开 关

几何中共点、共线、共面问题

1.证明共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定 一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由 不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合. 2.证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的 交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再 证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面 的交线上.

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3.证明三线共点问题本 课 时 栏 目 开 关

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证 明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 的问题.

研一研·题型解法、解题更高效例 1 如图所示，空间四边形 ABCD 中，E, F 分别为 AB,AD 的中点，G,H 分别在 BC, CD 上， 且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2.本 课 时 栏 目 开 关

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求证：(1)E、F、G、H 四点共面； (2)GE 与 HF 的交点在直线 AC 上. 证明 (1)∵BG∶GC=DH∶HC, ∴GH∥BD,又 EF∥BD,∴EF∥GH, ∴E、F、G、H 四点共面. (2)∵G、H 不是 BC、CD 的中点，∴EF≠GH.又 EF∥GH,∴EG 与 FH 不平行，则必相交，设交点为 M. EG 面ABC M∈面 ABC 且 M∈面 ACD HF 面ACD M 在面 ABC 与面 ACD 的交线上 M∈AC.∴GE 与 HF 的交点在直线 AC 上.

研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练 1 如 图 ， O 是 正 方 体 ABCD -

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A1B1C1D1 上底面 ABCD 的中心， M 是正方体对 角线 AC1 和截面 A1BD 的交点.求证：O、M、本 课 时 栏 目 开 关

A1 三点共线. 证明 ∵O∈AC,AC 平面 ACC1A1, ∴O∈平面 ACC1A1. ∵M∈AC1,AC1 平面 ACC1A1.∴M∈平面 ACC1A1. 又已知 A1∈平面 ACC1A1,即有 O、M、A1 三点都在平面

ACC1A1 上， 又 O、M、A1 三点都在平面 AB1D 上，所以 O、M、A1 三点 都在平面 ACC1A1 与平面 A1BD 的交线上， 所以 O、M、A1 三点共线.

研一研·题型解法、解题更高效题型二 空间中的平行问题

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1.判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定 义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a α,b α,本 课 时 栏 目 开 关

a∥b a∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a α a∥β) ; (4) 利用面面平行的性质 (α∥β, a β , a∥α a∥β). 2.证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用

面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于 同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第 三个平面， 那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、 “线面平行”、“面面平行”的相互转化.

研一研·题型解法、解题更高效例2 如图，E、F、G、H 分别是正方体

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ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC、 CC1、 C1D1、 AA1 的中点，本 课 时 栏 目 开 关

求证：(1)GE∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明 (1)取 B1D1 中点 O,连接 GO,OB, 1 1 易证 OG 綊 B1C1,BE 綊 B1C1, 2 2∴OG 綊 BE,四边形 BEGO 为平行四边形. ∴OB∥GE. ∵OB 平面 BDD1B1, GE 平面 BDD1B1,∴GE∥平面 BDD1B1.

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(2)由正方体性质得 B1D1∥BD, ∵B1D1 平面 BDF,BD 平面 BDF,本 ∴B1D1∥平面 BDF. 课 时 连接 HB,D1F, 栏 目 易证 HBFD1 是平行四边形，得 HD1∥BF. 开 关 ∵HD1 平面 BDF,BF 平面 BDF,

∴HD1∥平面 BDF.

∵B1D1∩HD1=D1,∴平面 BDF∥平面 B1D1H.

研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练 2 如图，△ABC 为正三角形，EC⊥ 平面 ABC,DB⊥平面 ABC,CE=CA=2BD, M 是 EA 的中点，N 是 EC 的中点，求证：平本 课 时 栏 目 开 关

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面 DMN∥平面 ABC. 证明 ∵M、N 分别是 EA 与 EC 的中点，∴MN∥AC, 又∵AC 平面 ABC,MN 平面 ABC, ∴MN∥平面 ABC, ∵DB⊥平面 ABC,EC⊥平面 ABC,∴BD∥EC,四边形 BDEC 为直角梯形， ∵N 为 EC 中点，EC=2BD,∴NC 綊 BD, ∴四边形 BCND 为矩形，∴DN∥BC, 又∵DN 平面 ABC,BC 平面 ABC, ∴DN∥平面 ABC,又∵MN∩DN=N, ∴平面 DMN∥平面 ABC.

研一研·题型解法、解题更高效题型三 空间中的垂直关系

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空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法：本 课 时 栏 目 开 关

①计算所成的角为 90° (包括平面角和异面直线所成的角); ②线面垂直的性质(若 a⊥α,b α,则 a⊥b). (2)判定线面垂直的方法： ①线面垂直定义(一般不易验证任意性); ②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b α,c α,b∩c= M a⊥α); ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α a⊥α); ④面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a β,a⊥l a⊥α); ⑤面面平行的性质(a⊥α,α∥β a⊥β);

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⑥面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ l⊥γ). (3)面面垂直的判定方法： ①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为 90° ); ②面面垂直的判定定理(a⊥β,a α α⊥β).

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例3 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，

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A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上 的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为本 课 时 栏 目 开 关

B1C1 的中点. 求证：(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE. 证明 (1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 又 AD 平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,CC1,DE 平面 BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD 平面 ADE,

研一研·题型解法、解题更高效所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.(2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点，所以 A1F⊥B1C1.本 课 时 栏 目 开 关

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因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F 平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F.

又因为 CC1,B1C1 平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以 A1F⊥平面 BCC1B1.

由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD.又 AD 平面 ADE,A1F 平面 ADE, 所以 A1F∥平面 ADE.

研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练 3 如图，A,B,C,D 为空间四 点.在△ABC 中，AB=2,AC=BC= 2, 等边△ADB 以 AB 为轴运动.本 课 时 栏 目 开 关

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(1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时，求 CD; (2)当△ADB 转动时，是否总有 AB⊥CD?证明你的结论. 解 (1)取 AB 的中点 E,连接 DE,CE,因为△ADB 是等边三角形，所以 DE⊥AB.当平面 ADB⊥平面 ABC 时，因为平面 ADB∩平面 ABC = AB , 所 以 DE⊥ 平 面 ABC , 可 知 DE⊥CE,由已知可得 DE= 3,EC=1,在 Rt△DEC 中， CD= DE2+EC2=2.