工程数学(线性代数)综合练习解答

线性代数练习

北京邮电大学高等函授教育、远程教育

《工程数学》综合练习解答

通信工程、计算机科学与技术专业（本科）

《线性代数》部分

一、判断题：

1.√ , 2.×, 3. ×, 4. ×, 5. ×, 6. √, 7. ×, 8. ×, 9. √, 10. ×, 11. √, 12. √,13. ×, 14. ×, 15. √ 16. √ 17. ×, 18. √, 19. ×, 20. √,21. ×, 22. √, 23. √, 24. ×, 25. ×, 26. ×.

二、填空题：

1. 0;

2. 7, -3, -21;

3. -12;

4. 3, -3, 1,2,-2;

kc ka 1kb

kc 1ka , 5. kb

kckakb 1

6. 无关, 不能;

2k3,

1

1 ; 1

7. 4 1 2 2 3,

8. A 0,

Rank(A)=n; 9.

1

; 81 ;10. 3,

3 2 1 21 2 , 1 2

0 1 2 1

, 1 2

3 1 12 0 0

1 1 0 00001

0 0 ; 11. n, A 2 1

0 012.

1 0 010 1

100 0

,

000 0

001 0000

300

;

010

001

13. 2, ;

1 ( 2,1,0) , 2 ( 3,0,1) ,

k1 1 k2 2(k1,k2为任意常数);

1

线性代数练习

15. 1 (2,1,0,0) , 2 (0,0, 1,1) , (1,0,2,0) k1 1 k2 2.(k1,k2为任意常数) 16.

1 2, 1 k( 1 2)(k为任意常数)

17. .

三、单项选择：

四、计算题：

1 1

01 x2

1. 原式=

0 10 3

2 3

0 0

3(1 x2)(2x 8) 0

3x 6 32 x

求得 x 1,x 4.

1 1012. D=

0000111 1

4,

4101

故有 D=16.

2

1011

3. D

0000

00 1 0

0110 0011

( 1)n 1

10000 11(n 1)阶000

2

00

00

11

01(n 1)阶

00

线性代数练习

2,当n为奇数时n 1 =1+(-1)= .0,当n为偶数时

4. 原式=B 1(A B) 1,其中

B 1

1 3 1

0 1 1

1 0 1

1

1 3 2

,

1 2 1 1 3 1

100 100

A+B= 010 , (A B) 1 010

1 003 00

3

2 1 3 3

1

B 1(A B) 1 = 1 2

3 1 1 3

3

所以

(AB B2) 1

5. 由于

A1 7 0,A2 3 0, 则 A A1A2 0所以 A1,A2,A均可逆,且有

5

7

4 7

2 7 , 3 7

A1

1

1A2

1 1

0 33 0 1 0 0 0 1

A

1

5

7 4 7 0 0 0

273 7000

00

0 0

1

03

0 10

0 0 1 3 0 1

3

线性代数练习

6. 由题意可得 x3y

3 3t3u x 4x y 6

t u 12u 3

3x x 4 则有

3y x y 61, 求得x=2, y=4, t=1, u=3. 3t t u 3u 2u 3

10 1

7. 由 XA=B可得X BA 1

, 其中A

1

21 2 ,

则

31 2

1 33 10 1 20 1

X = 4 32 21 1 25 2 31 2 85 6 103 5

8. 由AX=B及A 1 0可知X A 1

B,其中

1 100 00 01 10

00 A 1

001 1

00 , 0000 1 1 0000

01

1 10

0 00 123 n 01 10

00 1 012 n 2X

001

1 00 001 n 3 0000 1 1 0000

1

000 1 000 0 111 11

011 11 = 001 11 000 11

00

0 0

1

4

n n 1 n 2 2 1

线性代数练习

1 1 22 9. 记 A

3 1 4 0

11

1 11

0 1 3

100 00

1 1 1 00

1

10

11

0101

1 1 0 1

00

以上矩阵中有一个三阶子式 0 11 0,且所有的四阶子式都等于零,

故Rank(A)=3,即秩 1, 2, 3, 4 3,且它的一个极大无关组为 1, 2, 3.

3 1 1

022

10. A

03 8

0 07

故 Rank(A) = 4.

325

0 1 1 3

31 011

2 0 5

3 0011

2

1

43

0 00

11 1

0 3 32 11

五、求解下列各题：

1. 1)

1011

A

0000

=1+(-1)

n 1

00 1 0

0110 0011

( 1)n 1

10000 11(n 1)阶000

00

00 11

01(n 1)阶

00

=

2,当n为奇数时 0,当n为偶数时

,

所以,当n为奇数时,A 2 0,方程组有唯一零解;当n为偶数时,A 0方程组有非零解.

5

线性代数练习

1 1

2) 当n = 4时,A

0 0

01100011

1 1

00 0 0 1 0

0100

01 0 1 11

00

x1 x4

原方程组的同解方程组为 x2 x4

x x

4 3

令x4= 1得原方程组的基础解系为

( 1,1, 1,1) ,

则原方程组的全部解为k(-1,1,-1,1)(k为任意常数).

2

2.

3 2

2 ( 3)2( 1)

3

A 1

2

8

14

当A 0,即 1或 3时,方程组有非零解. 其中当 1时,原方程组的同解方程组为

x1 3x2 2x3 0

x2 0

求得它的一个基础解系为(2,0, 1) ,

此时原方程组的全部解为k1(2,0, 1) (k1为任意常数);

当 3时,原方程组的同解方程组为

x1 3x2 2x3 0

2x2 x3 0

求得它的一个基础解系为 此时原方程组的全部解为

(1, 1,2) ,

k2(1, 1,2) (k2为任意常数).

3.

11

A

11

1 1 2( 3) 11

1) 当 0且 3时, …… 此处隐藏：3236字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……