(全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题二 数列 规范答题示例3 数列的通项与求和问题学案 文

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规范答题示例3 数列的通项与求和问题

典例3 (12分)下表是一个由n 2

个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *

)．已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．且a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.

a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n

… … … … …

a n 1 a n 2 a n 3 … a nn

(1)求a n 1和a 4n ；

(2)设b n ＝a 4n

(a 4n －2)(a 4n －1)

＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *

)，求数列{b n }的前n 项和S n .

审题路线图 数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n 分析b n 的特征―――――→选定求和方法

分组法及裂项法、公式法求和

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评分细则 (1)求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分；

(2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；

(3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分；

(4)当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分． 跟踪演练3 (2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n

n .

(1)求b 1，b 2，b 3；

(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{a n }的通项公式．

解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)

n a n ，

将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.

(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a

n

n ，即b n ＋1＝2b n ，

又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．

(3)由(2)可得a n n ＝2n －1

，

所以a n ＝n ·2n －1.