(新课程)高中数学《2.1.1合情推理》课件 新人教A版选修1-2

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理第1课时 归纳推理

【课标要求】 1.了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理.

2.体会并认识合情推理在数学发现中的作用.【核心扫描】 1.对归纳推理的理解.(重点) 2.能利用归纳推理进行简单的推理.(重点)

自学导引

归纳推理的概念由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的 全部对象 都 具有这些特征的推理，或者由个别事实 概括出 一般结论 的推理.

想一想：1.归纳推理的结论一定正确吗？ 提示 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结

论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正

确.2.归纳推理的前提条件是什么？归纳所得的结论有什么要求？ 提示 有几个已知的特殊现象，结论是未知的一般现象，该结

论应该超越前提所包含的范围.

名师点睛归纳推理 1.归纳推理的特点 (1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该 结论超越了前提所包含的范围. (2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实 践检验，即结论不一定可靠.

(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问 题.

2.归纳推理的一般步骤(1)通过对有限资料进行观察、分析，发现某些相同性质.一般 地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一 般性命题就越可能为真. (2)猜想：在以上基础上提出带有规律性的结论. (3)检验：检验猜想.

题型一

归纳推理在数列中的应用

【例 1】 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想它的 通项公式. (1)a1=3,an+1=2an+1; 1 (2)a1=a,an+1= ; 2-an (3)对一切的 n∈N*,an>0,且 2 Sn=an+1.

[思路探索] 根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项. 解 (1)由已知可得a1=3=22-1, a2=2a1+1=2×3+1=7=23-1, a3=2a2+1=2×7+1=15=24-1, a4=2a3+1=2×15+1=31=25-1. 猜想an=2n+1-1,n∈N*.

(2)由已知可得 a1=a, 1 1 a2= = , 2-a1 2-a 2-a 1 a3= = , 2-a2 3-2a 3-2a 1 a4= = . 2-a3 4-3a n-1 - n-2 a 猜想 an= (n∈N*). n- n-1 a

(3)∵2 Sn=an+1, ∴2 S1=a1+1, 即 2 a1=a1+1,∴a1=1. 又 2 S2=a2+1, ∴2 a1+a2=a2+1, ∴a2-2a2-3=0. 2 ∵对一切的 n∈N*,an>0,∴a2=3. 同理可求得 a3=5,a4=7, 猜想出 an=2n-1(n∈N*).

规律方法 虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所 具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识

过程，对于数学的发 现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作出归纳整理，提 出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.

2an 【变式 1】 (1)在数列{an}中，a1=1,an+1= ,n∈N*,猜想 2+an 这个数列的通项公式. 1 1 (2)已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn,满足 Sn=2 an+a (n∈ n N*),求出 a1,a2,a3,并推测 an 的表达式. 2a1 2 解 (1)在{an}中，a1=1,a2= =3, 2+a1 2a2 2 2a3 2 a3 = = ,a4= = , , 4 2+a2 2+a3 5 2 所以猜想{an}的通项公式 an= . n+1

1 1 1 a1+ 得，a1= , (2)由 a1=S1=2 a1 a1 又 a1>0,所以 a1=1. 1 1 当 n≥2 时，将 Sn=2 an+a , n 1 1 Sn-1= an-1+a 的左右两边分别相减得 2 n-1 1 1 1 1 an=2 an+a -2 an-1+a , n n -1 1 1 整理得 an-a =- an-1+a , n-1 n

1 所以 a2- =-2,即 a2+2a2+1=2, 2 a2 又 a2>0,所以 a2= 2-1. 1 同理 a3-a =-2 2, 3 即 a2+2 2a3+2=3, 3 又 a3>0,所以 a3= 3- 2. 可推测 an= n- n-1.

题型二 归纳推理在几何中的应用 【例2】 在平面内观察，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对 角线，凸六边形有9条对角线 由此猜想凸n边形有几条对 角线，并给出证明. [思路探索] 通过前几项的对角线的条数之间的联系，猜想凸n

边形的对角线条数.