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浙江大学城市学院

2006—2007学年第二学期考试试卷

《 微积分（B）II》

开课单位：计算分院 ；考试形式：闭卷；考试日期：07年7月10日；时间：120分钟

一． 微分方程问题(本大题共 3 题，每题 5分，共15 分)

1． 求解微分方程 y (x2 4) 2xy,y

x 0

1.

2.求解微分方程 y 2xy xe x2

.

3.求解微分方程 y 2y ex

.

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2．求直线

二.向量与空间解析几何问题(本大题共 4 题,每题 5 分，共 20分)

1． 设向量 a 1, 1,0 ,b 2, 1,0 ，求a b，并求b。

x 2y 2z

与平面 :2x y z 1 0的交点P，并求经过P点且与 垂2 12

直的直线方程。

3.方程2x2 y2 z2 4是什么图形，求该方程与x,y,z轴在第一卦限的交点P,Q,R，并求经过P,Q,R的平面方程。

2x y z 1

4．将直线的一般式方程 化为点向式方程与参数方程。

x y z 2

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三．多元函数微分学问题(本大题共 5 题，每题 5 分，共 20分)

设z arctanyx, 求 z x, 21． z

y

2.

2． 设z (1 xy)y，求

z x, z y

。

3． 设z (xy2,x2 y)，其中 具有二阶连续偏导数，求 z x,

4． 设x2

y2

z2

4,求 z

z

x,

y.

z y

.

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四.重积分问题 (本大题共 4题，每题 5 分，共 20分)

x2

1.求 d ，D由y 2,y x与xy 1所围。

yD

2．计算二重积分

sinx

d ， 其中D由y x2 1与直线x 1,y 1所围成. xD

3．求由旋转抛物面z 2 x y与z x2 y2所围立体的体积。

4

．求三重积分

2

2

,其中

是z 与z 2所围的空间区域.

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2. 计算第一类曲面积分区域的边界曲面。

3. 计算第二类曲线积分

五．曲线积分与曲面积分问题 (本大题共3题，每题5分，共 15 分)

1. 求第一类曲线积分xdl，其中l是沿抛物线y x2从(0,0)到(1,1)的曲线.

l

(x

S

2

y2)dS，其中S

为锥面z 及平面z 1所围成的

(x y)dx (y x)dy，其中l为先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，

l

然后再沿直线到(4,2)的折线。

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六．应用题或证明题 (本大题每题5分，共 10 分)

1． 某马戏团的演出场是由帆布围成的（自顶至地面），外形是开口向下的旋转抛物

面，其方程为

1

z 10 (x2 y2)

2

（地平面对应z 0，单位为m），若帆布的价格是 元/m2，计算要搭建这样的演出场，帆

布的成本应为多少？

2．在椭圆x2 4y2 4上求一点P，使其到直线l:2x 3y 6 0的距离最短。（提示：设

d是P到直线l的距离，求d的最小值等价于求d2的最小值）。