高中数学第二章2.3平面向量的数量积知识导航学案

高中数学第二章2.3平面向量的数量积知识导航学案

2.3 平面向量的数量积

知识梳理

1.两个向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a ，b (如图2-3-1所示)，作=a ，=b ，则∠AOB 称为a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉.

图2-3-1

(2)范围：［0,π］，并且〈a ，b 〉=〈b ，a 〉.

(3)当〈a ，b 〉=2

π时，称向量a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .规定零向量与任一向量垂直. (4)当〈a ，b 〉=0时，a 与b 同向；当〈a ，b 〉=π时，a 与b 反向.

2.向量在轴上的正射影

(1)已知向量a 和轴l(如图2-3-2所示)，作OA=a ，过点O 、A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1、A 1，则向量O 1A 1在轴l 上的坐标叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影).a 在轴l 上的正射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量，记作a l ，a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则有a l =|a |cos θ.

图2-3-2

(2)当θ为锐角时，a l ＞0；当θ为钝角时，a l ＜0；当θ=0时，a l =|a |；当θ=π时，a l =-|a |.

3.向量的数量积(内积)

(1)定义：|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ.

(2)理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数.

(3)几何意义：向量a 与向量b 的数量积等于a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上的射影|b |cos θ的乘积，或b 的长度｜b ｜与a 在b 方向上的射影|a |cos θ的乘积.

(4)坐标运算：已知a =(a 1,a 2)，b =(b 1,b 2)，则a ·b =a 1b 1+a 2b 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

4.向量数量积的性质

设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.

(1)e ·a = a ·e =|a |cos 〈a ，e 〉；

(2)a ⊥b ⇔a ·b =0；

(3)当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；

当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |.

特别的a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.

(4)cos 〈a ，b 〉=||||b a b a ∙；

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(5)|a ·b |≤|a ||b |.

5.向量数量积的运算律

交换律：a ·b =b ·a ；

结合律：(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(λ∈R )；

分配律：(a +b )·c =a ·c +b ·c .

6.向量垂直的坐标表示

已知a =(a 1,a 2)，b =(b 1,b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2=0⇔(a 1，a 2)∥(-b 2，b 1).

7.向量的长度、距离和夹角公式(度量公式)

(1)向量的长度：已知a =(a 1，a 2)，则｜a ｜=2221a a +.即向量的长度等于它的坐标平方和

的算术平方根.

(2)两点间距离公式：如果A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|=212212)()(y y x x -+-.

(3)夹角公式：已知a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则两个向量a 、b 的夹角为cos 〈a ，b 〉=222

1222

12

211b b a a b a b a +++.

知识导学

复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及其运算；本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.

疑难突破

1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？

剖析:难点是对这三种运算易混淆不清.其突破的途径是主要从定义、运算的表示方法、运算的性质、运算的结果和运算的几何意义上来分析对比.

(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，其符号由夹角的大小决定；向量数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.

(2)从运算的表示方法上看：两个向量a 、b 的数量积称为内积，写成a ·b ；考上大学后还要学到两个向量的外积a ×b ，而a ·b 是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“· ”在向量数量积的运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量数乘的写法同单项式的写法；实数乘法的写法我们已经非常熟悉了.

(3)从运算的性质上看：

①在向量的数量积中，若a ·b =0，则a =0或b =0或〈a , b 〉=

2π；在向量的数乘中，若λa =0，则λ=0或a =0；在实数的乘法中，若a ·b =0，则b =0.

②在向量的数量积中，a ·b =b ·c ⇒b =0或a =c 或〈b ，(a -c )〉=2

π.在向量的数乘中，λa =λb (λ∈R )⇒a =b 或a ≠b ；在实数的乘法中，ab =bc ⇒a =c 或b =0.

③在向量的数量积中：(a ·b )c ≠a (b ·c )；在向量的数乘中，(λｍ)a =λ(ｍa )(λ∈R ,m∈R )；在实数的乘法中，有(ab )c =a (bc ).

(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a ·b 的几何意义是a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上的射影|b |cos θ的乘积；在向量的数乘中，λa 的几何意义就是把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小|λ|倍；在实数的乘法中，ab 的几何意义就是ab 到数轴原点的距离

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等于a 、b 到数轴原点距离的积.

2.为什么(a ·b )c =a (b ·c )不成立？

剖析:难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义表示来分析；突破路径3：利用反证法，通 …… 此处隐藏：2173字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……