正余弦定理复习教案[1]

高中数学

正弦、余弦定理

一. 教学内容： 正弦、余弦定理 二. 教学重、难点： 1. 重点：

正弦、余弦定理。 2. 难点：

运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。

【典型例题】

[例1] 已知在 ABC中， A 45 ，a 2，c

6解此三角形。

解：由正弦定理得

sinC

62 sin45 2222

∵ csinA

6

2

2

a 2，c ， 2 6

∴ 有两解，即 C 60 或 C 120

B 180 60 45 75 或 B 180 120 45 15 b

a

sinBsinA 得b 3 1或b 1

由

∴ b 1， C 60 ， B 75 或b 3 1， C 120 ， B 15

[例2] 不解三角形，判断下列三角形解的个数。

（1）a 5，b 4，A 120 （2）a 7，b 14，A 150 （3）a 9，b 10，A 60 （4）c 50，b 72，C 135

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解：（1）

sinB

b43

sin120 a522，∴ ABC有一解。

（2）

sinB

b

sin150 1a ∴ ABC无解

（3）

sinB

b103553sinA 1a929而29

sinB

59的60 B 90 ，故对应的钝角B有

∴ 当B为锐角时，满足

90 B 120 ，也满足A+B 180 ，故 ABC有两解。

sinB

bsinC722

sinC sinC c502

（4）

∴ B 45 ∴ B C 180 ∴ ABC无解 [例3] 已知在 ABC中， A 45 ，a 2，c

2

2

6解此三角形。

解：由余弦定理得：b (6) 26b cos45 4 ∴ b 2b 2 0 ∴ b

2

1

cosC

1

2， C 60 或 C 120

又 (6) b 2 2 2bcosC ∴ ∴ B 75 或 B 15 ∴ b

222

1， C 60 ， B 75 或b 1， C 120 ， B 15

[例4] 已知a、b、c是 ABC中， A、 B、 C的对边，S是 ABC的面积，若a 4，

b 5，S 53，求c的长度。

解：

∵ a 4，b 5，

S

1

absinC 532

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∴

sinC

3

2 ∴ C 60 或120

222

∴ 当C 60 时，c a b ab 21 ∴ c 222

当C 120 时，c a b ab 61 ∴ c

21

61

即(a c) 4 ∴ a c 2又a c 1 ∴ 1 a c 2

[例6] 在 ABC中，已知b a( 1)，C 30 ，求A、B。

2

a2 b2 c2

cosC cos30

22ab解：由余弦定理，

∴ a a(4 2) c a(3 1)

2

2

2

2

∴ c (2 )a ∴

22

c 2 a

3 1

12

a

a

aa( 1)2

sinBsin30 由正弦定理：sinA

sinB 2sin30

22

∴

∵ a b ∴ A B ∴ B为锐角 ∴ B 45 ∴ A 180 (45 30 ) 105

[例7] 已知 ABC中，2(sinA sinC) (a b)sinB，外接圆半径为2。

（1）求 C

（2）求 ABC面积的最大值

解：（1）由22(sinA sinC) (a b)sinB

2

22

2

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a2c b22(2 ) (a b)

2R ∴ R 2 4R4R2∴

222222

∴ a c ab b ∴ a b c ab

a2 b2 c21

cosC

2ab2 ∴

又 0 C 180 ∴ C 60

（2）

S

113absinC ab 23sinAsinB222

A) 3sinA(sin120 cosA cos120 sinA) 23sinA sin(120

3sinAcosA sin2A

2

Smax

32

33sin2A cos2A 222

sin(2A 30 )

∴ 当2A 120 即A 60 时，

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 选择题：

1. 在 ABC中，一定成立的等式是（ ） A. asinA bsinB C. asinB bsinA

B. acosA bcosB D. acosB bcosA

cosAb

ABCcosBa，则 ABC是（ ） 2. 在中，若

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 3. 已知 ABC中，AB=1，BC=2，则 C的取值范围是（ ）

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A.

(0,

6 B.

](0,

2 C. 6

)(

,

2 D. 6

](

,

]3

4. ABC中，若3a 2bsinA，则B为（ ）

2 5

363366 A. B. C. 或 D. 或

5. ABC的三边满足(a b c)(a b c) 3ab，则 C等于（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60

6. 在 ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ）

3323 A. 2 B. 2 C. 2 D. 33

7. ABC中，“sinA sinB”是“A=B”的（ ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

222

8. ABC中，sinA sinB sinBsinC sinC，则A等于（ ）

A. 30 B. 60 C. 120 D. 150

9. ABC中，B 30 ，b 3，c 150，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. Rt三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

abc

k

ABCsinAsinBsinC10. 在中，，则k=（ ）

1A. 2R B. R C. 4R D. 2R

二. 填空：

1. 在 ABC中，已知a 7，b 8，

cosC

13

14，则最大角的余弦值为 。

2. 在 ABC中，sinA 2cosBsinC，则三角形为 。

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3. 在 ABC中，a:b:c ( 1):6:2，则最小角为。

4. 若

S

14(b2 c2 a2)

，则A= 。

三. 解答题：

1. 在 ABC中，BC=a，AC b，a，b是x 23x 2 0的两个根，且2cos(A B) =1，求（1）角C的度数 （2）AB的长 （3） ABC的面积。 2. 在 ABC中，c 10，A 45 ，C 30 ，求a、b和B。 3. 若2，3，x为三边组成一个锐角三角形，求x的范围。

222

4. 在 ABC中，若sinA 2sinBcosC，sinA sinB sinC，试判断 ABC形状。

2

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【试题答案】

一.

1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. C 8. C 9. D 10. A 二.

1.

1

7 2. 等腰三角形 3. 45 4. 30

三.

1. 解：

（1）

cosC cos[ (A B)] cos(A B)

1

2 ∴ C 120

a b 23 2