2.3.3

直线与平面垂直的性质

一、填空 1.线面垂直的性质定理： 垂直于同一平面的两条直线互相平行 ， 用数 学 符号表 示为 a⊥α,b⊥α a∥b 2.a⊥α,a⊥β,则α 3.a⊥α,α∥β则a . β∥ . ⊥ β .

4.a∥b,b⊥α,则a ⊥ α.

二、判断正误 (1)如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与

这个平面内的任何直线都不垂直.(2)已知平面α和直线a、b,若a∥α,b⊥a,则b⊥α. [解析 ] (1) 错.平面内与这条直线的射影垂直的直线 与此直线垂直. (2)错.正四棱台如图.

b为上底面一边或斜高时都有b⊥a,但b与下底面α不垂直.

本节学习重点：直线与平面垂直的性质. 本节学习难点：线线垂直与面面垂直的转化.

直线与平面垂直的判定与性质归纳如下表： 类别 方法 判定 用推论

用判定定理

用定义

图形

条件

c α,b α c∩b=P a⊥c,a⊥b

a∥b b⊥α

b是α内任一条 直线 a⊥b

结论

a⊥α

类别 方法

性质 性质定理 定义

图形

条件 结论

a⊥α b⊥α a∥b

a⊥α b α a⊥b

类别 方法

其它结论

图形

条件

a⊥α a⊥β

a⊥α α∥β

结论

α∥β

a⊥β

a⊥α P∈α PA⊥a PA α

[ 例 1]

如 图 ， 设 平 面 α 与 β 相 交 于 直 线 l , AC⊥α ,

BD⊥β,垂足分别为C、D,直线AB⊥AC,AB⊥BD, 求证：AB∥l.

[解析]

∵AC⊥α,BD⊥β,α∩β=l,∴AC⊥l,BD⊥l;

过A作AE⊥β垂足为E,则AE∥BD,

∵AB⊥BD,∴AB⊥AE,∴AB⊥平面ACE;∵AE⊥β,α∩β=l,∴AE⊥l, 又AC⊥l,∴l⊥平面ACE,∴AB∥l. [点评] 要证线线平行，不具备公理4的条件，没有线 面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系，

于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平面γ、l⊥γ、AB⊥γ,于是作辅助线围绕找γ展开.

如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在平面，

过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证：(1)AE⊥SB;(2)AG⊥SD.

[分析]

要证AE⊥SB,可先假定AE⊥SB已经成立，结

合条件SC⊥平面AEFG可知AE⊥平面SBC,从而AE⊥BC,

又BC⊥AB,故BC⊥平面SAB,这样实际证明时，应先从已知条件 SA⊥平面 ABCD 入手证得 BC⊥平面 SAB ,后证 AE⊥ 平面SBC.

[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥BC. 又AB⊥BC,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.

又AE 平面SAB,∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AEFG,∴SC⊥AE. 又∵SC∩BC=C,∴AE⊥平面SBC. ∵SB 平面SBC,∴AE⊥SB.

(2)∵SA⊥平面ABCD,∴CD⊥SA, 又CD⊥AD,AD∩SA=A,∴CD⊥平面SAD,

∵AG 平面SAD,∴CD⊥AG∵SC⊥平面AEFG,∴SC⊥AG. 又∵SC∩CD=C,∴AG⊥平面SDC. 又SD 平面SDC,∴AG⊥SD.