拉普拉斯定理与行列式的乘法

第七节 拉普拉斯定理、行列式的乘法一、拉普照拉斯定理 定义1 在n阶行列式D=

a ij 中任取K行、K列，位于这些行、

列相交处的元素按原来的相对次序构成的K阶行列式S称为D的 一个K阶子式；在D中去掉S所在的行与列，剩下的元素按原来 的相对次序构成的n-k阶行列式M称为S的余子式；设S来自D的 第 i1 , i2 ,..., ik行和第 j1 , j2 ,..., jk 列，这里

i1 < i2 < ... < ik , j1 < j2 < ... < jk ,,我们把

A = ( 1)

( i1 + i2 +...+ ik ) + ( j1 + j2 +...+ jk )

M

称为S的代数余子式。

定理1(拉普拉斯定理) 在n阶行列式D中任取K个行(或K个列) (1≤K<n),由这K行(列)元素构成的K阶k 子式(共有 cn 个)与它们的代数余子式

的乘积之和等于行列式D. 即D= S1 A1 + S 2 A2 + ... + S t At

s1 , s2 ,..., st

为某K个行构成的K阶子式;

A1 , A2 ,..., At 分别是它们的代数余子式.

例1 把行列式

2

1 2 1 0

0 1 2 1

0 0 1 2

按第1,2两行展开.

1 D = 0 0

2 c 4 =6个2阶子式: 解: 由第1,2两行可以得到

2 1 2 0 2 0 s1 = = 3, s2 = = 2, s3 = = 0, 1 2 1 1 1 0 s4 = 1 0 2 1 = 1, s5 = 1 0 2 0 = 0, s6 = 0 0 1 0 = 0.

因为

s3 = s5 = s6 = 0A2 = ( 1) A4 = ( 1)

的代数余子式

所以只需求出 1 (1+ 2 ) + (1+ 2 ) 2 A1 = ( 1) = 3, 1 2(1+ 2 ) + (1+ 3)

s1, s2 , s4

1 1 = 2, 0 2 0 1 = 0. 0 2

(1+ 2 ) + ( 2 + 3)

于是 D = S A + S A + S A = 3.3 + 2.( 2) = 5. 1 1 2 2 4 4

二

行列式的乘法公式 两个n阶行列式a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n a21 D1 = ... an1 b21 b22 ... b2 n a22 ... a2 n , D2 = ... ... ... ... ... ... ... an 2 ... ann bn1 bn 2 ... bnn c12 ... c1n

定理2

的乘积等于一个n阶行列式

c11

c21 c22 ... c2 n D1 = , ... ... ... ... cn1 cn 2 ... cnn

其中 cij 是 D 1的第i行元素与 D

2

的第j列对应元素的乘积之和,

即 cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj (1 ≤ i, j ≤ n).

证明:

作2n阶行列式

a11 a21 ...

a12 a22 ...

... a1n ... a2 n ... ... 0 0 ...

0 0 ... 0 b11 b21 ...

0 0 ... 0 b12 b22 ...

... ... ... ...

0 0 ... 0

D=

an1 1 0 ... 0

an 2 ... ann 0 ... 1 ... ... 0 ... ...

... b1n ... b2 n ... ...

1 bn1 bn 2 ... bnn

利用拉普拉斯定理把 D 按前n行展开.由于 D 的前n 行中 除了左上角的n阶子式 D 1 之外,其余子式全为零,所以

D = D1 ( 1) (1+ 2+...+ n )+ (1+ 2+...+ n ) D2 = D1 D2

下面我们来证 D = D.为此,对于I=1,2,…,n,将 D 的 第n+1行的 ai1 倍,第n+2行的 ai 2倍,…,第2n行的ain 倍 加到第i行,得

0 0 ... D= 0

0 0 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... 0 0 0 ...

c11 c21 ... cn1 b11 b21 ...

c12 c22 ... b12 b22 ...

... c1n ... c2 n ... ...

cn 2 ... cnn ... b1n ... b2 n ... ...

1 0 ... 0 1 ... ... 0 ... 0 ...

... 1 bn1 bn 2 ... bnn

其中 cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj (i, j = 1,2,..., n).把上 面的行列式按前n行展开 由拉普拉斯定理,得 面的行列式按前 行展开,由拉普拉斯定理 得

行展开 由拉普拉斯定理

1 D = ( 1)(1+ 2 + ...+ n ) + (( n +1) + ( n + 2 ) + ...+ 2 n )

0

...

0 0 ...

0 D. ... 0

1 ... ... ... 0

... 1

= ( 1)

2 n ( 2 n +1) 2

( 1) n D = ( 1) 2 n ( n +1) D = D.