浙江科技学院-期末试卷-线性代数-07-08第1学期线性代数A卷A答案[1]

2007-2008学年第一学期考试试卷A卷

一、填空题(每题4分，共20分)

515 1、 ； 2、18； 3、5； 4、， 5、

1

15 5 二、选择题（每小题4分，共20分）

1、C； 2、D； 3、B； 4、A； 5、B 三、解答题（本题共48分）

x 11x x 1x 1 1

1、（8分）解： Dc1 ci,i 2,3,4……………2分

xx 11 1x 11 1 11x 1

c1 xx 1x 1 1 …………………4分

x 11 1 11 1

0x01

00x00x00x000

ri r4,i 1,2,3

…………………5

分r1 r4,r2 r3

10x000x0000x000

………7分 0x

==x4…………………8分

2、由

A*BA 2BA 8E (2E A)BA 8E

*

……….2分，

因A 2,故A可逆，A* AA 1 2A 1,………….3分，从而

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B 8(2E A*)A 1 8(2A AA*) 1 8(2A AE) 1 8[2(A E)] 1 4(A E) 1,

2

A E 0

0 24B 0 4

00

1 22 2

1

14 (A E) 0

02 0

6 8 2

3

2

12 ,

1 0 ………….7分

2 1

其中

……………… 8分. 3、（6分）证及解：

由A2 4A 5E O (A 3E)(A 7E) 26E O，…………………2分 故(A 5E)[

1

(A 7E)] E， …………………4分 26

故A 3E可逆，…………………5分 且(A 3E) 1

1

(A 7E). ……………………….6分 26

4、（10分）解：

11

21

32

1 1 230 10 4

64 1 行变 012

000 871

6 1 2 0001 1

21

……………5分 00 00

x1 4x3 x4 1

与原方程组同解的方程组为 (x3,x4为自由未知量)

x 2x 2x 134 2令x3 x4 x5 0 x1 1,x2 1 * ( 1,1,0,0)T …………7分

x 4x3 x4

与导出组同解的方程组为 1(x3,x4为自由未知量)，…6分

x 2x 2x34 2令x3 1,x4 0, x1 4,x2 2 1 (4, 2,0,0)T，

又令x3 0,x4 1, x1 1,x2 2 2 (1, 2,0,1)T， …….…9分

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1 4 1 21 2 2

则 * ki i k1 k2 ,(k1,k2 R) ……10分

0 1 0 i 1

00 1

101

5、（10分）解：( 1, 2, 3) ( 1, 2, 3)A ( 1, 2, 3) 012 ， ……1分

102 111

( 1, 2, 3) ( 1, 2, 3)B ( 1, 2, 3) 011 ， ……………2分

001

则( 1, 2, 3) ( 1, 2, 3)A 1B， …………………4分

221

行变

(A,B) (E,A 1B)，求出P A 1B 231 ，……………8分

1 10

6、（14分）解：

5 320

A 200 ,f(A) A E 0

002 0

03

1

1 (5 )( 2)( 4)， 3

A的特征值为 1 2, 2 4, 3 5. ……………4分

300 100

当 1 2时，A1 A 2E 011 011 ，

011 000 1 1

1 1 p 1 ， ………………………6分 1 0

0 100 100

当 2 4时，A2 A 4E 0 11 01 1 ,

01 1 000

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0 0

2 1 p 1 ，……8分 2 1

1

000 010

当 3 5时，A3 A 5E 0 21 001 ,

01 2 000 1

3 0 p3,，………………………10分

0

令P (p1,p2,p3) 00 1

0 ，则P为正交矩阵，………………12分 0

从而x Py为正交变换，故f(x1,x2,x3) 2y12 4y22 5y32………………14分 四、（6分）证法一：易证两向量组 1 2, 2 3, 3 1与 1, 2, 3等价，则其秩相等，从而命题得证． 证法二:充分性见

P89

例

6,下证必要性.记

1 1 2, 2 2 3, 3 3 1.令k1 1 k2 2 k3 3 0,即

k1(

1 2 3

2

) k2(

1 2 3

2

) k3(

1 2 3

) 0,

2

亦(k1 k2 k3) 1 ( k1 k2 k3) 2 (k1 k2 k3) 3 0,因 1, 2, 3线性无关,

k1 k2 k3 0

则 k1 k2 k3 0 k k k 0,故 1, 2, 3线性无关.

k k k 0

23 1

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