半导体物理学

半导体物理习题解答

1－1．（P32）设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec（k）和价带极大值附近能量Ev（k）分别为：

h2k2h2(k k1)2h2k23h2k2

Ec(k)=+和Ev(k)= －；

3m0m06m0m0

m0为电子惯性质量，k1＝1/2a；a＝0.314nm。试求：

①禁带宽度；

②导带底电子有效质量； ③价带顶电子有效质量；

④价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。 [解] ①禁带宽度Eg

dEc(k)22k22(k k1)根据＝＋＝0；可求出对应导带能量极小值Emin的k值：

3m0m0dk

kmin＝

3

k1， 4

由题中EC式可得：Emin＝EC(K)|k=kmin=

2

k1； 4m0

由题中EV式可看出，对应价带能量极大值Emax的k值为：kmax＝0；

2k122k12h2

并且Emin＝EV(k)|k=kmax＝；∴Eg＝Emin－Emax＝＝ 2

12m06m048m0a(6.62 10 27)2

＝＝0.64eV 28 82 11

48 9.1 10 (3.14 10) 1.6 10

②导带底电子有效质量mn

2

d2EC222h28232dEC

m0 ；∴ mn＝/ 22

3m0m03m08dkdk

③价带顶电子有效质量m’

2

d2EV621'2dEV

m / m0 ，∴ n

m06dk2dk2

④准动量的改变量

33h

△k＝(kmin-kmax)= k1 [毕]

48a

1－2．（P33）晶格常数为0.25nm的一维晶格，当外加102V/m，107V/m的电场时，试分别计算电子自能带

底运动到能带顶所需的时间。 [解] 设电场强度为E，∵F=h

dkh=qE（取绝对值） ∴dt=dk dtqE

1

半导体物理学

∴t=

t

dt=

12a0

hh1dk= 代入数据得：

qE2aqE

6.62 10-348.3 10 6

t＝＝（s）

E2 1.6 10 19 2.5 10 10 E

当E＝102 V/m时，t＝8.3×108（s）；E＝107V/m时，t＝8.3×1013（s）。 [毕]

19－318－3

3－7．（P81）①在室温下，锗的有效状态密度Nc＝1.05×10cm，Nv＝5.7×10cm，试求锗的载流子有

－

－

效质量mn和mp。计算77k时的Nc和Nv。已知300k时，Eg＝0.67eV。77k时Eg＝0.76eV。求这两个温度时锗的本征载流子浓度。②77k，锗的电子浓度为10cm，假定浓度为零，而Ec－ED＝0.01eV,求锗中施主浓度ND为多少？

-23-34

[解] ①室温下，T=300k（27℃）,k0=1.380×10J/K，h=6.625×10J·S，

19－318－3

对于锗：Nc＝1.05×10cm，Nv=5.7×10cm： ﹟求300k时的Nc和Nv： 根据（3－18）式：

19

2Nc3 3421.05 10h()(6.625 10)()3*

2(2 mnk0T)* 31（3Nc m 5.0968 10Kg根据n3 23

2 k0Th2 3.14 1.38 10 300

3

2

2

2

17

－3

**

－23）式：

18

Nv3 3425.7 10h()(6.625 10)()3

2(2 m*kT)p0* 31Nv m 3.39173 10Kg﹟求77k时p

2 k0Th32 3.14 1.38 10 23 300

3

2

2

2

2

的Nc和Nv：

2(2 mkT')

333

Nc'T'T'77 ()2;Nc' ()2Nc ()2 1.05 1019 1.365 1019 3NcTT300*

2(2 mnk0T)2

h3

同理：

3

3

*n03

32

T'772

N ()2Nv () 5.7 1018 7.41 1017

T300

'

v

﹟求300k时的ni：

ni (NcNv)exp(

求77k时的ni：

12

Eg0.67

) (1.05 1019 5.7 1018)exp( ) 1.96 1013 2k0T0.052

Eg0.76 1.6 10 191918

ni (NcNv)exp( ) (1.05 10 5.7 10)exp( ) 1.094 10 7②77k 23

2k0T2 1.38 10 77

时，由（3－46）式得到：

-19-231719-3

Ec－ED＝0.01eV＝0.01×1.6×10；T＝77k；k0＝1.38×10；n0＝10；Nc＝1.365×10cm；

2

12

半导体物理学

－19Ec ED20.01 1.6 1017[n0exp()] 2[10 exp()]2 2 232k0T162 1.38 10 77 [毕] ND ＝＝6.6 10；19

Nc1.365 10

3－8．（P82）利用题7所给的Nc和Nv数值及Eg＝0.67eV，求温度为300k和500k时，含施主浓度ND＝5

15

×10cm-3，受主浓度NA＝2×109cm-3的锗中电子及空穴浓度为多少？ [解]1) T＝300k时，对于锗：ND＝5×1015cm-3，NA＝2×109cm-3：

ni (NcNv)exp(

12

Eg

) 1.96 1013cm 3； 2k0T

n0 ND NA 5 1015 2 109 5 1015；

n0 ni；

ni2(1.96 1013)2

p0 7.7 1010； 15

n05 10

2）T＝300k时：

T24.774 10 4 5002

Eg(500) Eg(0) 0.7437 0.58132eV；

T 500 235

查图3-7(P61)可得：ni 2.2 10，属于过渡区，

16

n0

(ND NA) [(ND NA) 4n]

2.464 1016；

2

2

122i

ni2

p0 1.964 1016。

n0

（此题中，也可以用另外的方法得到ni：

N

'c

(Nc)300k300

32

500；N

32

'v

(Nv)300k300

32

500；ni (NcNv)exp(

3212

Eg

)求得ni）[毕] 2k0T

14

-3

17

-3

3－11．（P82）若锗中杂质电离能△ED＝0.01eV，施主杂质浓度分别为ND＝10cm及10cm，计算(1)99%电离，(2)90%电离，(3)50%电离时温度各为多少？ [解]未电离杂质占的百分比为：

D_

求得：

2ND ED EDD_Nc

exp ＝ln； Nck0Tk0T2ND

ED0.01 19 1.6 10 116； 23

k0T1.38 10

3

2(2 mk)15

Nc 2 10(T2/cm3)

h

*n03

32

3

半导体物理学

116D_NcD_ 2 10 T1015∴ ln ln() ln(D_T2)

T2ND2NDND

(1) ND=10cm，99%电离，即D_=1-99%=0.01

14

-3

15

3

2

3

1163

ln(10 1T2) lnT 2.3 T2

即：

3

1163

lnT 2.3 T2

将ND=1017cm-3，D_=0.01代入得：

1163

ln104T2 lnT 4ln10 T2

即：

3

1163

lnT 9.2 T2

(2) 90%时，D_=0.1

ND 1014cm 3

ED0.1Nc

ln k0T2ND

3

3

1160.1 2 1015210142

lnT lnT T2NDND

1163

lnT T2

1163

ND=1017cm-3得： lnT 3ln10

T2

1163即： lnT 6.9；

T2

即：

(3) 50％电离不能再用上式 ∵nD nD

ND

2

即：

NDND

ED EFED EF1

1 exp()1 2exp( )2k0Tk0T

∴exp(

ED EFE EF

) 4exp( D) k0Tk0T

ED EFE EF

ln4 D

k0Tk0T

即：EF ED k0Tln2

4

半导体物理学

n0 Ncexp(

取对数后得：

Ec EFN

) D k0T2

整理得下式：

EC ED k0Tln2N

lnD

k0T2Nc

EDNc

ln

k0TND

14

-3

EDN EDN

ln2 lnD ∴ lnD k0T2Nck0TNc

即：

当ND＝10cm时，

1162 1015 T lnT1014

1163

lnT 3 T2

116317-3

当ND＝10cm时 lnT 3.9

T2

得

3

2

ln(20T)

32

3

lnT ln20 2

此对数方程可用图解法或迭代法解出。[毕] 3－14．（P82）计算含有施主杂质浓度ND＝9×1015cm-3及受主杂质浓度为1.1×1016cm-3的硅在300k时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。

[解]对于硅材料：ND=9×1015cm-3；NA＝1.1×1016cm-3；T＝300k时 ni=1.5×1010cm-3：

p0 NA ND 2 1015cm 3；

ni(1.5 1010)2 35 3

n0 cm 1.125 10cm16

p00.2 10

∵p0 NA ND且p0 Nv exp(

EV EF

)

K0T

∴

E EFNA ND

exp(V)

Nvk0T

NA ND0.2 1016

Ev 0.026ln(eV) Ev 0.224eV [毕] ∴EF Ev k0Tln

Nv1.1 1019

3－18．（P82）掺磷的n型硅，已知磷的电离能为0.04eV，求室温下杂质一般电离时费米能级的位置和磷的

浓度。

[解]n型硅，△ED＝0.044eV，依题意得：

n0 nD 0.5ND

5

半导体物理学

∴

ND

0.5ND

ED EF

1 2exp( )

k0T

∴1 2exp(

ED EFE EF1

) 2 exp( D) k0Tk0T2

1

k0Tln2 ED EC EC EF k0Tln2 2

∴ED EF k0Tln

∵ ED EC ED 0.044

∴EF EC k0Tln2 0.044 EF EC k0Tln2 0.044 0.062eV

ND 2NCexp(

EC EF0.062

) 2 2.8 1019exp( ) 5.16 1018(cm 3) [毕] k0T0.026

3－19．（P82）求室温下掺锑的n型硅，使EF＝(EC＋ED)/2时的锑的浓度。已知锑的电离能为0.039eV。 [解]由EF

EC ED

可知，EF>ED，∵EF标志电子的填充水平，故ED上几乎全被电子占据，又∵在室温2

下，故此n型Si应为高掺杂，而且已经简并了。 ∵ ED EC ED 0.039eV

EC EF EC

EC ED

0.0195 0.052 2k0T 2

即0

EC EF

2 ；故此n型Si应为弱简并情况。

k0T

∴n0 nD

NDND

EF ED ED

1 2exp()1 2exp()

k0Tk0T

ND

∴

2Nc

[1 2exp(

E ECEF ED

)] F1(F)k0Tk0T2

2Nc

2Nc

[1 2exp(

EF EcE EC E

)exp(D)] F1(F)k0Tk0TkT02

0.01950.039 0.0195

[1 2exp()exp()] F1()

0.0260.0260.0262

2 2.8 1019

[1 2exp(

0.0195 0.0195

)] F1() 6.6 1019(cm 3)0.0260.0262

其中F1( 0.75) 0.4 [毕]

2

6

半导体物理学

3－20．（P82）制造晶体管一般是在高杂质浓度的n型衬底上外延一层n型的外延层，再在外延层中扩散硼、磷而成。①设n型硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能为0.039eV，300k时的EF位于导带底下面0.026eV处，计算锑的浓度和导带中电子浓度。

[解] ①根据第19题讨论，此时Ti为高掺杂，未完全电离：

0 EC EF 0.026 0.052 2k0T，即此时为弱简并

∵n0 nD

ND

E ED

1 2exp(F)

k0T

EF ED (EC ED) (EC EF) 0.039 0.026 0.013(eV)

ND

2Nc

[1 2exp(

E ECEF Ec E

) exp(D)]F1(F)k0Tk0TkT02

0.039

)]F1( 1)0.0262

2 2.8 1019

[1 2exp( 1) exp(

4.07 1019(cm 3)

其中F1( 1) 0.3

2

n0 Nc

2

F1(

2

EF EC2 2.8 1019 0.026

) F1() 9.5 1019(cm 3) [毕]

k0T0.0262

4－1．（P113）300K时，Ge的本征电阻率为47Ω·cm，如电子和空穴迁移率分别为3900cm2/V·S和

1900cm2/V·S，试求本征Ge的载流子浓度。

[解]T=300K，ρ＝47Ω·cm，μn＝3900cm2/V·S，μp＝1900 cm2/V·S

1niq( n p)

ni

1113 3

2.29 10cm[毕] 19

q( n p)47 1.602 10(3900 1900)

4－2．（P113）试计算本征Si在室温时的电导率，设电子和空穴迁移率分别为1350cm2/V·S和500cm2/V·S。当掺入百万分之一的As后，设杂质全部电离，试计算其电导率。比本征Si的电导率增大了多少倍？ [解]T=300K,，μn＝1350cm2/V·S，μp＝500 cm2/V·S

niq( n p) 1.5 1010 1.602 10－19 (1350 500) 4.45 10－6s/cm

掺入As浓度为ND＝5.00×1022×10-6＝5.00×1016cm-3

杂质全部电离，ND ni，查P89页，图4－14可查此时μn＝900cm2/V·S

2

2 nq n 5 1016 1.6 10－19 900＝7.2S/cm

27.26

[毕] 1.62 10 6

4.45 10

4－13．（P114）掺有1.1×1016 cm-3硼原子和9×1015 cm-3磷原子的Si样品，试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度及样品的电阻率。

[解]NA＝1.1×1016 cm-3，ND＝9×1015 cm-3

7

半导体物理学

p0 NA ND 2 1015cm 3

ni21.5 10105 3

n0 ＝1.125 10cm15

p02 10

可查图4－15得到 7Ω·cm

（根据NA ND 2 10cm，查图4－14得 ，然后计算可得。）[毕]

4－15．（P114）施主浓度分别为1013和1017cm-3的两个Si样品，设杂质全部电离，分别计算：①室温时的电导率。

[解]n1＝1013 cm-3，T＝300K，

16

3

1 n1q n 1013 1.6 10 19 1350s/cm 2.16 10 3s/cm

n2＝1017cm-3时，查图可得 n 800 cm

1 n1q n 1013 1.6 10 19 800s/cm 12.8s/cm [毕]

5－5．（P144）n型硅中，掺杂浓度ND＝1016cm-3，光注入的非平衡载流子浓度Δn＝Δp＝10cm。计算无光照和有光照时的电导率。 [解]

14

-3

n-Si，ND＝1016cm-3，Δn＝Δp＝10cm，查表4－14得到： n 1200, p 400：

14

-3

无光照： nq n NDq n 10 1.602 10Δn＝Δp<<ND，为小注入： 有光照：

16 19

1200 1.92(S/cm)

' (n n)q n (p p)q p [(1016 1014) 1200 1014 400] 1.602 10－19

1.945(S/cm)

[毕]

14

-3

5－7．（P144）掺施主杂质的ND＝1015cm-3n型硅，由于光的照射产生了非平衡载流子Δn＝Δp＝10cm。试计算这种情况下准费米能级的位置，并和原来的费米能级做比较。 [解]

14-3

n-Si，ND＝1015cm-3，Δn＝Δp＝10cm，

n0 NCexp(

EC EF

)k0T

n010 Ec 0.026lneV Ec 0.266eVNc2.8 1019

15

EF Ec k0Tln

光照后的半导体处于非平衡状态：

n

EC EF

n n0 n NCexp( )

k0Tn

EF Ec k0Tln

n0 n10 10

Ec 0.026lneV Ec 0.264eV19

Nc2.8 10

8

1514

半导体物理学

nEF EF 0.002eV p

Ev EF

p p NVexp()

k0Tp

EF Ev k0Tln

p10

Ev 0.026lneV Ev 0.302eVNv1.1 1019

14

室温下，EgSi＝1.12eV；

EF Ec 0.266eV Eg Ev 0.266eV 1.12eV Ev 0.266eV Ev 0.854eV

p

EF EF 0.552eV

比较：

由于光照的影响，非平衡多子的准费米能级EF与原来的费米能级EF相比较偏离不多，而非平衡勺子的费米能级EF与原来的费米能级EF相比较偏离很大。[毕]

5－16．（P145）一块电阻率为3Ω·cm的n型硅样品，空穴寿命 p 5 s，再其平面形的表面处有稳定的空穴注入，过剩空穴浓度( p)0 10cm，计算从这个表面扩散进入半导体内部的空穴电流密度，以及在离表面多远处过剩空穴浓度等于1012cm-3？ [解]

13

3

p

n

3 cm； p 5 s，( p)0 1013cm 3：

15

3

由 3 cm查图4－15可得：ND 1.75 10cm， 又查图4－14可得： p 500cm/V S 由爱因斯坦关系式可得：Dp

2

k0T1

p 500cm2/S 12.5cm2/S q40

所求(Jp)扩＝q

DpDpx

p(x) q( p)0exp( ) LpDp pDp p

而Lp

Dpp .5 5 10－6cm 7.9057 10 3cm

(Jp)扩＝1.6 10 19

12.5x

1013 exp( )A/cm2

3

7.90577.9057 10

2.53 10 3 exp( 126.5x)A/cm2

p(x) ( p)0exp( 126.5)

1 p(x)110121

x ln ln13cm ( 2.3)cm 0.0182cm[毕]

126.5( p)0126.510126.5

9