【数学】第一章《导数及其应用》综合测试(苏教版选修2-2)
时间：2025-04-21
高中苏教选修（2-2）第1章导数及其应用综合测试
一、选择题
1．直线运动的物体，从时刻t到t t时，物体的位移为 s，那么limA．从时刻t到t t时，物体的平均速度 B．该物体在t时刻的瞬时速度 C．当时刻为 t时该物体的速度
D．从时刻t到t t时位移的平均变化率 答案：B
2．曲线y x 3x上切线平行于x轴的点的坐标是（ ） A．( 1，2)
B．(1， 2)
C．(1，2)
D．( 1，2)或(1， 2)
3
s
为（ ）
t 0 t
答案：D
3．下列求导正确的是（ ）
2
cosx 2xcosx sinx xA． 2 4
x x
B．(sinx) nsinx
nn 1
cosx
C
．
D．(e
2x
sin3x) 6e2x cos3x
答案：C
4．过点( 1，0)作抛物线y x x 1的切线，则其中一条切线为（ ） A．2x y 2 0 C．x y 1 0 答案：D
B．3x y 3 0 D．x y 1 0
2
ln3
，b 3
A．a b c C．c a b
5．若a ln5ln6
，c ，则（ ） 56B．c b a D．b a c
答案：B
6．函数f(x) x3
ax2
3x 9，已知f(x)在x 3时取得极值，则a （ ） A．2 B．3
C．4 D．5
答案：D
7．f(x) x3
3x2
2在区间[ 11]，上的最大值是（ ）
A． 2 B．0 C．2 D．4 答案：C 8．下面都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（
A．①②
B．③④
C．①③
D．①④
答案：B
9．曲线y x(x 1)(x 2) (x 50)在原点处的切线方程为（ ） A．y 1275x B．y 2500x
C．y 100x
D．y 1 2 3 50x
答案：D
10．y 2x与y 3 x2
所围成的图形的面积为（ ） A
．
B
．9
C．
323
D．
353
答案：C 11
．
（ ）
A．π
B．
9π2
C．
9π4
D．
94
答案：C 12．
6
x 3dx （ ）
）
A．0 B．4 答案：D 二、填空题
x
2
C．6 D．9
13．函数f(x) ex的单调递减区间为 答案：( 2，0)
14．已知函数f(x) x 3ax 3(a 2)x 1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ． 答案：a 2或a 1 15．
3
2
π20
xx cos sin dx ．
22
2
答案：
π 1 2
16．图1是一个质点做直线运动的v t图象，则质点在前6s内的位移为 ． 答案：9m
三、解答题
17．设函数f(x) x bx cx(x R)，已知g(x) f(x) f (x)是奇函数． （1）求b，c的值；
（2）求g(x)的单调区间与极值． 解：（1）f (x) 3x 2bx c，
23
2
g(x) f(x) f (x) x3 bx2 cx (3x2 2bx c)
x3 (b 3)x2 (c 2b)x c是一个奇函数，所以g(0) 0，
得c 0，
由奇函数定义，得b 3； （2）由（1）知g(x) x 6x， 从而g (x) 3x 6，
2
3
(是函数g(x)( ，
和 )是函数g(x
)的单调递增区间，由此可知，
的单调递减区间，
g(x
)在x
g(x
)在x
时，取得极小值，极小值为 ．
18．设F(x)
x
t(t 4)dt(x 0)．
（1）求F(x)的单调区间；
（2）求函数F(x)在[1，5]上的最值．
解：由于F(x)
13 1322 x
t(t 4)dt (t 4t)dt t 2t| x 2x2， 0 0 0
3 3
x
x
定义域是(0， )．
（1）F (x) x 4x，令F (x) 0，得x 4， 令F (x) 0，得0 x 4．
2
)，单调递减区间是(0，4)； 函数的单调递增区间是(4，
（2）令F (x) 0，得x 4，
3225
，F(5) ， 33
532
F(x)在[1，5]上的最大值是F(1) ，最小值是F(4) ．
33
由于F(1) ，F(4)
19．设函数f(x) (x 1)ln(x 1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
解：令g(x) (x 1)lnx(x 1) ax，于是不等式f(x)≥ax， 即为g(x)≥g(0)成立．
对函数g(x)求导，得g (x) ln(x 1) 1 a，
5
3
令g (x) 0，解得x e当x e
a 1
a 1
1．
1时，g (x) 0，g(x)为减函数；
a 1
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)成立的充要条件为e 1≤0，解得a≤1，
1 ． 即a的取值范围是 ，
20．如图2，水渠的横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S，
水面高为h，问侧面与地面成的角 为多大时，才能使横断面被水浸湿的长度（称为湿周）最小？并求出最小湿周． 解：设水浸湿的长度为l，AB CD x， 则S (BC xcos )h，
S
xcos ， h
S
l BC 2x xcos 2x
h
SSh
， (2 cos )x (2 cos )
hhsin BC
sin2 (2 cos )cos 1 2cos l h h， 22
sin sin
令l 0，则cos
1π
， ． 23
由表可知，当
πS
时，可使湿周最小，最小值为． 3h
21．设y f(x)是二次函数，方程f(x) 0有两个相等的实根，且f (x) 2x 2． （1）求y f(x)的表达式；
（2）求y f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
解：（1）设f(x) ax bx c(a 0)， 则f (x) 2ax b．
又f (x) 2x 2，所以a 1，b 2．
2
f(x) x2 2x c．
又方程f(x) 0有两个相等实根，即x 2x c 0有两个相等实根， 所以 4 4c 0，即c 1． 故f(x) x 2x 1； （2）依题意，所求面积为S
2
2
13 0122
(x 2x 1)dx x x x | 1 ． 1
3 3
高中苏教选修（2-2）第1章导数及其应用综合测试
一、选择题
2
1．函数f(x) sinx的导数f (x) （ ）
A．2sinx 答案：D
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