九年级数学专项训练《二次函数》

二次函数中以三角形为主的中考压轴题（等腰三角形、直角

三角形、相似三角形）问题解析精选

【例1】．（2013 抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物

线y=﹣x+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；

（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

2

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得 解得 ，

,

∴ 抛物线的解析式为 y=﹣x ﹣2x+3; (2) 如图 1, 设第三象限内的点 F 的坐标为 (m, ﹣m ﹣2m+3) , 则 m<0, ﹣m ﹣2m+3 <0. 2 2 ∵ y=﹣x ﹣2x+3=﹣(x+1) +4, ∴ 对称轴为直线 x=﹣1,顶点 D 的坐标为(﹣1,4) , 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G,连接 FG,则 G(﹣1,0) ,AG=2. ∵ 直线 AB 的解析式为 y=x+3, ∴ 当 x=﹣1 时，y=﹣1+3=2, ∴ E 点坐 标为(﹣1,2) . ∵ S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG= ×2×2+ ×2×(m +2m﹣3)﹣ ×2×(﹣1﹣m)=m +3m, ∴ 以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3 时，m +3m=3, 解得 m1= 当 m= ∴ 点 F 的坐标为( ,m2=2 2 2 2 2 2

2

(舍去) ,2

时，﹣m ﹣2m+3=﹣m

﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m= , ) ;

,

(3)设 P 点坐标为(﹣1,n) . ∵ B(0,3) ,C(1,0) , ∴ BC =1 +3 =10. 分三种情况： ① 如图 2,如果∠ PBC=90°,那么 PB +BC =PC , 2 2 2 2 即(0+1) +(n﹣3) +10=(1+1) +(n﹣0) , 化简整理得 6n=16,解得 n= , ∴ P 点坐标为(﹣1, ) , ∵ 顶点 D 的坐标为(﹣1,4) , ∴ PD=4﹣ = , ∵ 点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴ t1= ; ② 如图 3,如果∠ BPC=90°,那么 PB +PC =BC , 2 2 2 2 即(0+1) +(n﹣3) +(1+1) +(n﹣0) =10, 2 化简整理得 n ﹣3n+2=0,解得 n=2 或 1, ∴ P 点坐标为(﹣1,2)或(﹣1,1) ,第2页2 2 2 2 2 2 2 2 2

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∵ 顶点 D 的坐标为(﹣1,4) , ∴ PD=4﹣2=2 或 PD=4﹣1=3, ∵ 点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴ t2=2,t3= 3; 2 2 2 ③ 如图 4,如果∠ BCP=90°,那么 BC +PC =PB , 2 2 2 2 即 10+(1+1) +(n﹣0) =(0+1) +(n﹣3) , 化简整理得 6n=﹣4,解得 n=﹣ , ∴ P 点坐标为(﹣1,﹣ ) , ∵ 顶点 D 的坐标为(﹣1,4) , ∴ PD=4+ = ,

∵ 点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴ t4= ; 秒时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三

综上可知，当 t 为 秒或 2 秒或 3 秒或 角形.

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【例2】．（2013 大连）如图，抛物线y=﹣

x+

2

x﹣4与x轴相交于点A、B，与y轴相

交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．

（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形； （2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；

（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．

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∴ MD=ME,即△ MDE 是等腰三角形. (2)答：能. 抛物线解析式为 y=﹣ x +2

x﹣4=﹣ (x﹣3) +

2

,

∴ 对称轴是直线 x=3,M(3,0) ; 令 x=0,得 y=﹣4,∴ C(0,﹣4) . △ MDE 为等腰直角三角形，有 3 种可能的情形： ① 若 DE⊥ EM, 由 DE⊥ BE,可知点 E、M、B 在一条直线上， 而点 B、M 在 x 轴上，因此点 E 必然在 x 轴上， 由 DE⊥ BE,可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在； ② 若 DE⊥ DM,与① 同理可知，此种情况不存在； ③ 若 EM⊥ DM,如答图 2 所示：

设直线 PC 与对称轴交于点 N, ∵ EM⊥ DM,MN⊥ AM,∴ ∠ EMN=∠ DMA. 在△ ADM 与△ NEM 中，

∴ △ ADM≌ △ NEM(ASA) , ∴ MN=MA. 抛物线解析式为 y=﹣ x +2

x﹣4=﹣ (x﹣3) +

2

,故对称轴是直线 x=3,

∴ M(3,0) ,MN=MA=2, ∴ N(3,2) . 设直线 PC 解析式为 y=kx+b,∵ 点 N(3,2) ,C(0,﹣4)在抛物线上， ∴ ,解得 k=2,b=﹣4,∴ y=2x﹣4.2

将 y=2x﹣4 代入抛物线解析式得：2x﹣4=﹣ x +

x﹣4,

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解得：x=0 或 x= , 当 x=0 时，交点为点 C;当 x= 时，y=2x﹣4=3. ∴ P( ,3) . 综上所述，△ MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为( ,3) .

(3)答：能. 如答题 3 所示，设对称轴与直线 PC 交于点 N. 与(2)同理，可知若△ MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M.

∵ MD⊥ ME,MA⊥ MN,∴ ∠ DMN=∠ EMB. 在△ DMN 与△ EMB 中，

∴ △ DMN≌ △ EMB(ASA) , ∴ MN=MB. ∴ N(3,﹣2) . 设直线 PC 解析式为 y=kx+b,∵

点 N(3,﹣2) ,C(0,﹣4)在抛物线上， ∴ ,解得 k= ,b=﹣4,∴ y= x﹣4.2

将 y= x﹣4 代入抛物线解析式得： x﹣4=﹣ x + 解得：x=0 或 x= , 时，y= x﹣4=

x﹣4,

当 x=0 时，交点为点 C;当 x= ∴ P( , ) .

.

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2

【例3】．（2013凉山州）如图，抛物线y=ax﹣2ax+c（ …… 此处隐藏：5958字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……