北京交通大学2006至2007学年第一学期几何与代数B期末考试试题A

北京交通大学2006至2007学年第一学期几何与代数B期末考试试题A

北京交通大学 2006-2007学年第一学期《几何与代数B 》

期末考试试卷及评分标准(A)

一．填空题（本题满分24分，共8道小题，每道小题3分）

1．设矩阵，且，则______，______．

解：2．已知4阶方阵 解：

的行列式

，所以

，则行列式

，所以．

___________________． ．

3．设 解：

，则___________________．

，所以

或

．

4．设是3阶方阵，，是的伴随矩阵，则________．

解：．

5．若矩阵的秩，则的值为__________________．

解：6．若4

维列向量

均正交，则 解：

.

线性无关，又

，因此. 非零且与

_____________________．

7．已知实二次型

取值范围为___________________．

正定,则实常数的

解：,，计算得，，

，整理得：.

8．2007阶行列式 解：

二．计算题（每题8分，共56分）

___________________．

，所以应填：

.

9．求过点，且与两直线与都相交的直线．

解：将两已知直线方程化为参数方程为

设所求直线与 则

、

、

和

的交叉点分别为

… 2

三点共线，即

… 4

解得 所以

得的一个方向向量为

， … 6

.

所求直线的方程为：. … 8

10．求直线

绕轴旋转一周所得的曲面方程．

解：设直线上有一点

，显然有.

旋转

到达

位置。 由于绕轴旋转，因此，

且

和

到轴的距离不会应为旋转而改变. 因此

. 由于

，故所求旋转曲面方程为

11．设四阶方阵，求．

解：

… … …

应用数学归纳法，可以证明： 12．设

，，，，问当⑴. 可以由线性表示，而且表示式唯一；⑵. 可以由

线性表示，但表示式不唯一．… 3

… 5

… 8

… 3

… 8

取何值时，

解：设，由此得线性方程组

（Ⅰ）

其系数行列式为

⑴. 当

且

时，由系数行列式

… 4 ，知线性方程组（Ⅰ）有唯一

解，因此此时向量可以由一． … 6 ⑵. 当

线性表示，而且表示式唯

时，方程组（Ⅰ）是齐次线性方程组，且其系数行列式，

因此此方程组有无穷多组解，因此可以由唯一． ⑶. 当

时，向量不能由的特征值为有特征值

,设矩阵，所以

线性表示，但表示式不

线性表示． … 8

，求

.

13．已知三阶矩阵 解：由三阶矩阵阵，使

可以相似对角化，即存在可逆矩

. … 2

… 4

所以，

… 6

… 8

14．当、为何值时，线性方程组

有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解． 解：利用增广矩阵

当 当

时，时，

… 2

，此时，方程组有唯一解； … 4

若

若

，则

，则

，此时，方程组无解； … 6 ，方程组无穷多组解，并且

所以，此方程组的通解为

… 8

15．已知二次型

求参数，以及此二次型所对应的矩阵 解：令

，则

的特征值．

的秩为，

再由

的秩为，所以

. … 4

因此，二次型

由特征方程，可得

，

，

. 三．应用题（每题10分，共20分）

16．已知是矩阵的一个特征向量．

⑴. 试确定参数、及特征向量所对应的特征值； ⑵. 问

是否相似于对角阵？说明理由．

解：由已知，设对应的特征向量为，则

解得

，

，

. 此时，，由特征方程，可得 . 将

代入齐次线性方程组

，有

.

… 8

2

… 4… 6

…

由 因此，

，知

… 8 对应的线性无关的特征向量秩为.

不能相似于对角阵. … 10

，将下列二次型化成标准形：

17．证明：存在一个正交变换

并写出标准形的形式．

证明：二次型的实对称矩阵为

根据特征方程

，

… 3

，可得

，

. … 6 ，使二次型

化成标准形。 … 8

因此，存在正交变换

得到标准形为：

. … 10