第四章 一阶电路和二阶电路 本章主要内容：一阶线性电路的零输入响应、零状态响应和全响应，二 阶电路的零输入响应;二阶电路中震荡和非震荡的概念。

重点：一阶线性电路的零输入响应、零状态响应和全响应， 一阶电路的时间常数，三要素法；二阶电路中震荡和非震 荡的概念。

一阶电路(first order circuit):描述电路方程是一阶微分方程的电路，一般情况下电路中只含 有一个储能元件，如果含有两个或两个以上的储能元件，则必 须能等效为一个储能元件。

一阶电路可分为: 一阶RC电路 一阶RL电路

§4-1 一阶电路的零输入响应 一阶RC电路的零输入响应

定性分析uc(0+)=uc(0-)=U0 i(0-)=0 i(0+)=U0/R 0 从能量的观点说明 0RS

带电电容的放电过程

t > 0的电路，KVL:

uC (t ) Ri(t) 0得微分方程：

特征方程为 通解为

duc ( t ) RC uc ( t ) 0 uc (0 ) uc (0 ) U 0 dt 1

RCs 1 0st

特征根为 s t RC

RC

uc ( t ) Ae AeA = U0 t RC

代入初始条件得 零输入响应

uc (t ) U 0e

t RC

t 0

uc (t ) U 0 i (t ) e R R

t 0

uC(t) U0 uC(t) τ i(t)iC ( 0 ) U0 R

uc ( t ) U 0e

t RC

t 0

电压曲线tt RC

0.368U0

0

uc ( t ) U 0 i(t ) e R Ri(t) τ

t 0

U 0.368 0 R

电流曲线t

iC(0-)=0 0

电路的时间常数(time constant)

RC时间常数 愈小，放电过程进行得愈快，暂态过程需要的时间 越短；反之， 愈大，放电过程进行得愈慢，暂态过程需要的 时间越长。在实际中 一般认为换路后经过4 ~ 5 的时间，暂态 过程基本结束。t

t r

2

3

U0 e -1=0.368U0 U0 e -2=U0 e -1e -1

U0e -3=U0 e -1e -2=0.368 0.135U0 =0.05U0

U0 e

=0.368 0.368U0 =0.135U0

4 U0 e -4=U0 e -1e -3 =0.368 0.05U0 =0.0184U0

5 U0 e -5=U0 e -1e -4 =0.368 0.0184U0 =0.0068U0

时间常数的图解计算

duc dt

d U 0e t t1 dt

t

t t1

U0

e

t1

uc ( t1 )

可证明，

t2 t1 0

整个放电过程中电阻吸收的能量为

0

i ( t ) Rdt R 2

U0 ( e R

t RC

1 2 ) dt CU 0 WC (0 ) WC (0 ) 22

一阶RL电路的零输入响应 定性分析 iL(0+)= iL(0-)=I0 uL(0-)=0 uL(0+)= - uR(0+)=-RI0di L dt RI 0 uL ( 0 ) 0 L L从能量的观点解释 0

t 0

磁场消失的过程

t > 0时电路的微分方程

di L ( t ) L RiL ( t ) 0 dt

i L (0 ) i L (0 ) I 0与一阶RC电路的微分方程比较

duc ( t ) RC uc ( t ) 0 dt

L di L ( t ) i L (t ) 0 R dt

uc (0 ) uc (0 ) U 0

i L (0 ) i L (0 ) I 0

根据对偶可得

i L (t ) I 0e

R t LR t L

t

0 Ri L ( t ) t 0

di L ( t ) uL ( t ) L RI 0e dt电路的时间常数

L GL RRL电路和RC电路的时间常数也是对偶的。

iL(t)I0

i L (t ) I 0eiL(t)τ uL(t) t

R t L

t 0

0.368I0

电流曲线

0

di L ( t ) uL ( t ) L dt RI 0 e R t L

τ 0 -RI0 uL(t) t

Ri L ( t )

t 0

电感电压曲线

一阶电路零输入响应的一般形式

r ( t ) r (0 )e

t

t 0

· 只要求出了响应的初始值和电路的时间常数 ,就可根据此式写出电路的零输入响应。

· 同一电路中的不同变量具有相同的时间常数 · 如电路的初始状态扩大k倍，则零输入响应也应扩大同样的倍数

例1 图示电路在换路前已 工作了很长的时间，求换 路后的零输入响应电流i (t ) 与电压uo(t)。 解：

换路后的电路

200 60) V 120 V uc (0 ) uc (0 ) ( 60 40

Req C

80 Req (60 ) 100 2 6

(100 0.02 10 ) s 2 s

uC (t ) 120e

t

2 10 6

V , t 0

uC (t ) 120et 0 ;

t 2 10 6

V,

uC (t ) 5 105 t i(t ) 1.2e A, t 0 ; Req

1 i(t) 60 36e 5 10 tV , t 0 ; u0 (t) 25

另：

uC (0 ) 1.2A ; i(0 ) Req

1 i(0 ) 60 36V u0 (0+ ) + 2

例2 在图示电路中， 已知i(0+)=150 mA,求 t > 0时的响应u(t)。 解： 计算Req

U 6I 4 ( I 0.1U )L 0.03 s Req u(0 ) i(0 ) Req 2.5V

U 50 Req I 3

u(t ) u(0 )e 2.5ei(t ) i (0 )e 150e t t 0.03

t

t 0.03

V,

t 0 t 0

mA ,