高等数学研究Vol14,No13　　　　　　　　　　　　　　　40STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS　　　　　　　　　　Sep.,2001

微积分史话

极限概念发展的几个历史阶段

王晓硕　(辽宁师范大学数学系,大连,116029)Ξ

极限概念是分析数学中最基本的概念之一,。极限理论是微积分学的基础,。从古至今,人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程。2000多年的发展,演变成为近代严格的极限理论,念。。述。

一、,最著名的是《庄子 天下篇》中记载的惠施(约前

[4]370——约前310)的一段话:“一尺之锤,日取其半,万世不竭。”公元3世纪,中国数学家刘徽

(263年左右)成功地把极限思想应用于实践,其中最典型的方法就是在计算圆的面积时建立的“割圆术”。由于刘徽所采用的圆的半径为1,这样圆的面积在数值上即等于圆周率,所以说刘微成功地创立了科学的求圆周率的方法。刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、…、直至6×25(192)边形的面积。他利用公式S2n=n 2(ln为内接正n边形的边长,S2n为内接2n边形的面积)来求正多边形的面积。

刘徽认为,割得越细,圆内接正多边形与圆面积之差越小,即“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆和体,而无所失矣”。这就是割圆术所反映的朴素的极限思想。

刘徽的极限观念与古希腊的安蒂丰不谋而合。智人学派的安蒂丰(Antiphon,约前480——约前410)在讨论化圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积,而内接正多边形与圆周之间存在的空隙当多边形的边数不断加倍时被逐渐“穷竭”。后来,希腊数学家欧多克索斯(Eudoxus约前400——约前347)建立了下列原理:“对于两个不相等的量,若从较大量中减去大于其半的量,再从所余量中减去大于其半的量。继续重复这个步骤,则必有某个余量小于原来较小

[1]的量。”这就是近代分析中的阿基米德公理“Πa>0,b>0, n∈N,使na>b”的原形。著名希腊数学家阿基米德(Archimede,约前287——约前212)把上述方法成功地应用于许多面积和体积的计算。例如,在《方法》一书中,他证明了“抛物线弓形面积是同底等高三角形的三分之四”的结果。阿基米德是根据力学原理去发现问题,然后用欧多克索斯的原理和反证法(双重归谬法)来证明有关结论的。从阿基米德的工作中,可以看到近代积分学中微元法基本思想的雏形,但是还没有求极限的观念。尽管如此,阿基米德所创造的极富启发性的方法,获得了大量的辉煌成果,为后人开辟了广阔的领域。

由安蒂丰提出,欧多克索斯完善的方法经阿基米德的工作发展到一个高峰。他们的工作到17世纪被重新研究,欧多克索斯原理被称为“穷竭法”。穷竭法所蕴涵的思想就是近代极限概念的雏Ξ收稿日期:2001—05—14。

第4卷第3期　　　　　　　　　　　　王晓硕:根据概含发展的几个历史阶段　　　　　　　　　　　　　41形。

纵观这一段时期,无论是中国古代还是古希腊数学家们对极限的理解都是比较初步的,形成的极限观念也是十分朴素和直观的。在对穷竭法的运用中,还没有摆脱几何形式的束缚。但是这些不足却为后来的数学家们去近一步探索精确的极限概念产生了一定的推动作用。

二、神秘的极限观

在17世纪,解析几何的创立成为数学发展的转折点。自然科学研究的中心转向自然界中的运动和变化。数学中自然而然地引入了变量和函数的概念。17世纪下半叶,英国的数学家牛顿(New2ton,I11643——1727)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,G.W.1646——1716)础上创立了微积分。在建立微积分的过程中,清的,并且在某些关键处常常不能自圆其说。。

。他把曲线f(x,y)=0y,而动点的水平速度分量和垂直速度分量分别用和y实际上就是x和y对t的导数。在《分析学》中,他把xo来表示。在对极限概念的理解上,牛顿在很多地方都是模糊的,常使自。这其中最明显的缺陷就是无穷小增量o是不是零?牛顿自认为不是零,但是在运算的过程中有的时候却常常略去了含有o的项。事实上,无穷小瞬“o”作为分母是不为零的,但除完之后仍含“o”的项在未除之前应为“o”的高阶无穷小,也就是牛顿直截了当令其为零的项。可是,当时牛顿认为无穷小量无层次而言,所以在这一点上他无法给出合乎逻辑的论证。许多人对此产生了怀疑,亦产生了许多关于微积分的悖论。在而后的《流数法》中,牛顿的流数概念已经发展到了成熟的阶段,他把随时间变化的量称为流量,把流量的变化率称为流数,瞬的概念仍保留下来,并且基本方法仍是舍弃无穷小。虽然这部书较前几部有了一定的改进,提出了有效的计算方

(这是牛顿写得较早但发表最迟的一部著作)在创法,但是它仍不能逃避上述逻辑上的困难。《原理》

导首末比方法的同时保留了无穷小瞬。这其中对“瞬”的解释所使用的语言仍然是含糊的——牛顿

[1]的:“有限元素不是瞬,而是瞬所生成的量。我们应当把它们想象成有限量的初生元。”这种说法也

引起了很多争议。

莱布尼兹在这方面也做出了很多的尝试。在他的《数学笔记》中,我们可以发现他的微积分思想来源于对和、差可逆性的研究。莱布尼兹在研究帕斯卡三角形时洞察到和与差的互 …… 此处隐藏：3451字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……