电动力学讲义 第一章 数学准备

第一章 数学准备

电 动 力 学授课老师:

李洪才 教授

第一章 数学准备

绪论电动力学简介： 研究对象：电磁场

研究内容：电磁场的基本性质；电磁场的运动规 律；电磁场与带电粒子相互作用；狭义相对论。 研究方法：归纳法, 演绎法，科学假设。 光场也是一种电磁场。 电动力学： 经典电动力学 电磁场理论 量子电动力学

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第一章 数学准备1.1矢量代数 一、定义 标量： 只有大小，没有方向 矢量： 有大小,有方向 矢量在三维空间中表示：A1

e3A3

AA2

e2

e1

A A1e1 A2e2 A3e3

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二、矢量的运算规律1、加法 A B B A 2、乘法 (1)与数乘 (m n) A mA nA m(nA) (mn) A

A ( B C ) ( A B) C

(2)点乘(标量积)a.定义 A B AB cos( ) Ax Bx Ay By Az Bz AB

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b.性质

A B B A A (B C) A B A C ei e j ij

例如

0 1

i≠j i=j

(3)叉乘 a.定义 A B e1 ( A2 B3 A3 B2 ) e2 ( A3 B1 A1B3 ) e3 ( A1 B2 A2 B1 )e1 A1 B1 e2 A2 B2 e3 A3 B3

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b.性质

A B B A

A ( B C ) B( A C ) ( A B)C ( A B) C B( A C ) A( B C )

A (B C) A B A C

(m A) B m ( A B)

(4)混合乘

C ( A B) A ( B C ) B (C A)

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1.2 场论如果在全空间或部分空间的每一点，都对应着某个 物理量的一个确定值，就说在这空间里确定了该物 理量的场。若这个物理量是标量，就称为标量场 ( x, y, z, t ) ,若是矢量，就称为矢量场 A( x, y, z, t ) 。

一、标量场的梯度 和方向导数(1)梯度 标量场的梯度 是一个矢量，其方向垂直于等 位面,指向标量场变化最快的方向，大小等于该 方向上的变化率。

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直角坐标中 的表达式 其中引入算符(2)方向导数

ex ey ez x y z

ex ey ez x y z

若沿线元 dl上，标量场 ( x, y, z)的数值改变 d ,则 d dl n dl dl

例1、求 r , r x 2 y 2 z 2 解： r r ex r ey r ez x y z r x

1 2 x 2 x y z2 2 2

r r

x x y z2 2 2

x r

同理

r y

y r

r z

z r

r

r xex yey zez

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例2 .

已知r=

x-x y-y z-z

, 求 r , r2 2 2

ex ey ez x y z 解：由对称性可知 r r r , r , 其中 r r r ex x x e y y y e z

z z

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例3 若 解：

1 x y z2 2 2

计算： 令：R x2 y 2 z 2

z R

x x ( x 2 y 2 z 2 ) 3 2

y

x

R 则： ex ey ez 3 x y z R

其中

R xex yey zez

二、▽对矢量场的作用 1、散度 divE E lim E d V V 0

Ex E y Ez E x y z

(是一标量)

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E

0a

E 0

b

E 0

c E 0

2、旋度 n

B

(rotB) n ( B) n lim

B dl S

S 0

在直角坐标中 B 的表示式： Bz By Bx Bz By Bx B ex ( ) ey ( ) ez ( ) y z z x x y

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散度：例4 ey y y ez z z , 求 r . 已知r ex x x 解： r 3 r 旋度：例5 计算 3 ,r x 2 y 2 z 2 , r 0. r r y z 解：当r 0时， 3 ex ( ) 3 3 r y r z r

z x x y ey ( ) ez ( ) 3 3 3 3 z r x r x r y r

z 1 3 yz z 5 3 3 y r y r r

r 3 0, r 0 r

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三、积分变换公式 1、高斯定理 对空间任意区域，有 f d f n d fdV s

n

s

式中S为区域V的界面， d 方向由内向外

2、斯托克斯定律 n

对空间任意曲面，有 f dl f d L S

式中L为S边界线，线积分的回转方向与面的正 方向合乎右手螺旋关系

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四、关于散度和旋度的几个重要定理 1、标量场的梯度必定为无旋场，即

02、反之，无旋场可表示为一个标量场的梯度，即若 f 0

则

f

3、矢量场的旋度必定为无散场，即 ( A) 0

4、无散场可表示为一个矢量场的旋度，即 若 B 0 则 B A

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五、重要运算公式

1、复合函数的运算 (1)若 (u), u u( x, y, z )举例： (2)若 A A(u ) u u ( x, y, z ) 1 r 1 r r ( 2 ) 3 r r r r r

则

u u 1 (u ) u r r

则

A A(u ) u u

A A u u

2、梯度的散

度 2 2 2 2 2 2 2 x y z

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例6

(k r ) k x x k y y k z z x k x x k y y k z z ex y k x x k y y k z z ey z k x x k y y …… 此处隐藏：592字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……