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▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 山西省忻州一中2011-2012学年高二下学期期中考试数学（理）试题

一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分)

1. 复数i i

z (21+=为虚数单位）的共轭复数为 A.i 21- B .i 21+ C.i -2 D.i +2

2. 已知集合{}N x C x A x ∈<=,15|6，满足A B ⊆的集合B 的个数是 A.2 B.4 C.8 D .16

3. 函数()⎩⎨⎧<+>-=0

120ln )(21x x x x x f x 的零点个数是 A.1 B.2 C .3 D.4

4. 从4名男生、2名女生中选出4人从事四项不同的工作,要求至少有1名女生参加,则不同的安排方法种数为

A.144

B.192 C .336 D.360 5. 对于函数x e y =，曲线x e y =在点)1,0(处的切线方程为 1+=x y ，由于曲线x e y =在

切线1+=x y 的上方，故有不等式1+≥x e x .类似的，对于函数)0(ln >=x x y ，有不等式：

A.)0(1ln >+≥x x x

B.)0(1ln >-≤x x x

C.)0(1ln >-≥x x x D .)0(1ln >-≤x x x

6. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是

A. 1

B.21-

C.45-

D. 8

13- 7. 函数x mx x x f +-=232)(在⎥⎦

⎤⎢⎣⎡3,21上是单调增函数,则 m 的取值范围是

A .23≤m B.8

7≤m

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7≤m D. 32≤m 8. 已知平面区域⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-=00202),(y y x y x y x M ,⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥≤+=02|),(22y y x y x N ，向区域 M 内随机投一点P ，则点P 落在区域N 内的概率是

A.8π B .4π C.2π D.4

3π 9. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长的是

A.

C. D.5

10. 定义在R 上的函数)(x f 满足:0)()1(<'+x f x , 设))3(sin(π-=f a ,))2

1((3.0f b =,)3(log 2f c =,则 c b a ,,的大小关系是

A .c b a >> B. a b c >> C.c a b >> D.b a c >>

11.下列四个判断，正确的是

A.命题“若0≥x ，则e e x

(1≥是自然对数的底数）”的否命题是：“若0≥x ，则1<x e ”； B.对于函数x

x x f 1)(+

=，“2>x ”是“函数)(x f 为增函数”的必要不充分条件； C .命题,:0R x p ∈∃使得1sin 0≥x ，命题.2

1ln ),,0(:<+∞∈∀x x x q 则q p ∧是真命题; D.对于函数x x f sin )(=，由x x x x f y ,2

3,0),(π===轴所围成的面积为⎰230sin πxdx . 12. 设函数20122sin )(x e x x f x ++=，令)()(1x f x f '=， )()(12x f x f '=，… ，

)()(1x f x f n n '=+，(n ∈N *） 由此归纳出：=)(2012x f A.!20122sin 22012++x e x B.!20122cos 22012++x e x

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二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)

13. ⎰=-2

02)2(dx x x _______.

14. 用数字1,2,3,4,5,6组成无重复数字的六位数，则奇数相邻且偶数也相邻的共有__ 个.

15. 函数)0()1()(2≠+=a e ax x f x

在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是______.

16. 商场某种商品的每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式)63()6(103

22<<-+-=

x x x y ，若该商品的成本为3元/千克，则销售价格 =x ______元时，商场每日销售该商品获得的利润最大。 三.解答题(本大题有6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分)

17.(满分10分)

在公差大于0的等差数列}{n a 中，11=a ，若9733,2,a a a +成等比数列.

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）设122

-+=n a n a b n ，求数列}{n b 的前n 项和n S . 18.(满分12分)

如图，已知四棱锥ABCD P -的底面是直角梯形，⊥PA 底面ABCD ,,900=∠DAB AB ∥CD ,且AB DC AD PA 2

1===

.

（1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ;

（2）若M 是线段PB 的中点,求直线BC 与

平面AMC 所成角的正弦值.

19. (满分12分)

某高校从2012年参加自主招生考试初试成绩中，随机抽取了100名入选考生的成绩，得

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（1）求频率分布表中①②位置的数据，并在试卷上相应位置画出相应的频率分布直方图；

（2）为了选拔出较优秀的人才，学校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分成抽样的方法抽

取6名学生进入面试，

①将这6名学生编号为1,2，…,6，求1号学生第一个面试，6号学生不最后一个面试的

概率；

②学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官的面试，求第4组抽取的考生中至少有1名学生被考官A 面试的概率.

20.(满分12分)

已知)cos 3,cos (sin x x x a ωωω+=，)0)(sin 2,sin (cos >-=ωωωωx x x b ，函数b a x f ⋅=)(，若)(x f 的最小正周期为π.

（1）求)(x f 的解析式；

（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若9,21,1)(=+==c b a A f ，求ABC ∆的面积.

21. (满分12分)

如图，抛物线)0(2:2

1>=p py x C 的焦点为F ，椭圆 )0(1:2

2222>>=+b a b

y a x C 的离心率23=e ，1C 与2C 在第一象限的交点为)21,3(P .

（1）求抛物线1C 及椭圆2C 的方程；

（2）已知直线)0(:>+=t t x y l 与椭圆2C 相交于不同的两点B A ,,点M 是线段AB 的中点，求直线FM 的斜率k 的取值范围.

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22. (满分12分)

设函数)0(ln )(2>-=x bx x a x f .

（1）若函数)(x f 在1=x 处的切线方程为2

1-

=y ,求函数)(x f 在),0(+∞上的最大值； （2）当0=b 时,不等式x m x f +≥)(对所有的

数学(理科)参考答案及评分标准

17(10分) (1)设等差数列}{n a 的公差为d

∵9733,2,a a a +成等比数列∴ (a 7+2)2=3a 3a 9 ………………2分 即：（3+6d ）2=3(1+2d)(1+8d)（d>0) 解得：d=1 ………………4分 ∴a n =a 1+(n-1)d=n 故a n = n ………………5分

(2)∵122-+=n b n n … ……………6分 ∴)1231()222(2-+++++++=n S n n … ……………8分 212222

1)21(2n n n n +-=+--=+ ………………10分

设PA=1，则A(0,0,0),C(1,1,0),B(0,2,0),M(0,1,12) ……………8分 设),,(z y x n =为平面AMC 的法向量 ∵)0,1,1(),,1,0(2

1

==AC AM ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AM n AC n 即⎩⎨⎧=+=+002z y y x

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∴直线BC 与平面AMC 所成角的正弦值为3

3 ……………12分 19(12分)(1) ①处填35，②处填0.3 频率分布图如下图 ……………4分

20(12分) (1) x x x x x x x f ωωωωωω2sin 32cos cos sin 32sin cos )(22+=+-= =)62sin(2π

ω+x …………………4分

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∴8

25381541542350230->+-=--=-=t t x y k t ∴直线FM 的斜率k 的取值范围是（

),8253+∞- …………………12分22(12分)(1))0(2)(>-='x bx x

a x f 由已知⎪⎩

⎪⎨⎧-=-==-='21)1(02)1(b f b a f ∴⎪⎩⎪⎨⎧==211b a ……………4分 （2）0=b 时，x a x f ln )(= ∴x m x f +≥)(即为x m x a +≥ln

∴x x a m -≤ln 对⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈2

3,0a 恒成立 ……………9分 令x a x a h -=)(ln )(

∵21e x ≤< ∴0ln >x ∴)(a h 的最小值为x h -=)0( …………10分

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