第2节

函数的单调性与最值

最新考纲 1.理解函数的单调性、最大 (小)值及其几何意义.

2.会运用基本初等函数的 图象分析函数的性质.

编写意图

函数的单调性与最值是函数的基本性质,也是函数知识

的核心,是高考重点考查的内容,难度不大.本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出函数单调性的判定与证明、求函数单调 区间以及利用函数的单调性确定参数的取值或取值范围,这些主要 体现在考点一、考点二、考点三的选题和反思归纳上,难点突破函 数最值的求解方法、转化与化归思想、数形结合思想的应用,这些 主要体现在考点四的选题和反思归纳上,思想方法栏目突破了抽象 函数单调性的判定与证明、函数不等式的求解方法,充分体现了转 化与化归思想的灵活应用.

夯基固本

考点突破 思想方法

夯基固本1.函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 定 义 变量的值 x1,x2

知识梳理

抓主干

固双基

减函数

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) 就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 图 象 描 述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是下降的 ,那么 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) ,那么

就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

质疑探究 1:若函数 f(x)在区间 C 和区间 D 上都是增(减)函数, 则函数 f(x)在区间 C∪D 上是增(减)函数吗? 1 (提示:不一定.如 f(x)= ,在区间(-≦,0)及(0,+≦)上都是减函 x数,但在(-≦,0)∪(0,+≦)上不是减函数,如取 x1=-1,x2=1,x1<x2, 但 f(x1)>f(x2)不成立)

(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或减函数,那么就说函数y=f(x)在

这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.质疑探究2:当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,能否用“∪” 将函数的单调增区间(减区间)连接起来?

(提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如:函数 y=x -3x 的单调增区间有两个:(-≦,-1)和(1,+≦),不能写成(-≦,-1) ∪(1,+≦))

3

2.函数的最值前 提 条 件 结 论 一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最大值 (3)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; (4)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最小值

基础自测1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( (A)y=ln(x+2) (B)y=- x 11 1 (C)y= (D)y=x+ x 2 解析:y=ln(x+2),定义域为(-2,+≦),在(0,+≦)上递增,y=- x 1 ,定义域为[-1,+≦),在(0,+≦)上递减,1 1 y= ,定义域为 R,在(0,+≦)上递减,y=x+ , x 2 x

A

)

x

定义域为(-≦,0)∪(0,+≦),在(0,1)上递减,在(1,+≦)上递增. 故选 A.

2.

函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( A (A)[1,2] (B)[-1,0] (C)[0,2] (D)[2,+∞)

)

2 x 2 x, x 2, 解析:由于 f(x)=|x-2|x= 2 x 2 x, x 2,

由二次函数的单调性知函数的单调减区间是[1,2].

3.给出下列命题: ①函数 f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0]∪ (0,+∞). ②若定义在 R 上的函数 f(x),有 f(-1)<f(3),则函数 f(x)在 R 上为增函数; ③函数 y=|x|是 R 上的增函数; ④函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增 区间是[1,+∞); ⑤对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D,且 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数 f(x)在 D 上是增函数. ⑥闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到. 其中正确的是( D ) (A)①② (B)③④ (C)④⑤ (D)⑤⑥

解析:①错误.函数的单调递增区间应为(-≦,0]和(0,+≦). ②错误.对 R 上的特殊的-1<3,有 f(-1)<f(3),f(x)在 R 上不一定为 增函数. ③错误.函数 y=|x|在(-≦,0)上是减函数,在(0,+≦)上是增函数. ④错误.[1,+≦)是单调递增区间的子集. ⑤正确. 若 x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则 x1>x2 时,f(x1)>f(x2);x1<x2 时,f(x1)<f(x2). ⑥正确.若函数在闭区间上单调,则其图象的最高、 最低点一定在端 点,即最值在端点取到.

2x 4.函数 f(x)= 在[1,2]的最大值和最小值分别是 x 12 x 2 x 1 2 2 解析:f(x)= = =2在[1,2]上是增函数, x 1 x 1 x 1

.

4 f(x)max=f(2)= ,f(x)min=f(1)=1. 3

4 答案: ,1 3

5.若函数 f(x)=4x2-mx+5 在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则 f(1)= . m m 解析:依题意,知函数图象的对称轴为 x== =-2,即 m=-16,从而 8 8

f(x)=4x2+16x+5, f(1)=4+16+5=25.答案:25

考点突破考点一 函数单调性的判断

剖典例

找规律

ax 【例 1】判断并证明函数 f(x)= 2 (其中 a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. x 1 ax1 ax2 解:法一(定义法)设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1 1 x2 12 ax1 x2 ax1 ax2 x12 ax2 a x2 x1 x1 x2 1 = = . 2 2 2 2 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1

2 ≧-1<x1<x2<1, x2-x1>0,x1x2+1>0,( x12 -1)( x 2 -1)>0.

因此当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),此时函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.

法二(导数法) f′(x)=a x 2 1 2ax 2

x

2

1

2

=

a x 2 1

x

2

1

2

.

又 a>0, 所以 f′(x)<0, 所以函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.