2019

有一种会长红浆果的泻根植物，能感觉到一根重量不到百万分之一克重的线，而世界上没有一个人、一头动物能感觉到这么细微的线。

课时分层训练(十五) 导数与函数的极值、最值

A 组 基础达标

一、选择题

1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )

A ．y ＝x 3

B ．y ＝ln(－x )

C ．y ＝x e －x

D ．y ＝x ＋2x

D [由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，

而D 选项中的函数既为奇函数又存在极值．]

2．(2016·四川高考)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( )

A ．－4

B ．－2

C ．4

D ．2 D [由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；

当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，

在(2，＋∞)上为增函数．

∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]

3．函数f (x )＝12

x 2－ln x 的最小值为( ) 【导学号：79140083】

A.12

B ．1

C ．0

D ．不存在

A [f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x

且x ＞0. 令f ′(x )＞0，得x ＞1.

令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1.

∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，

f (1)＝12－ln 1＝12.]

4．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x ＞0)，

则获得最大利润时的年产量为( )

A ．1百万件

B ．2百万件

C ．3百万件

D ．4百万件 C [y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，

当0＜x ＜3时，y ′＞0；

2019

有一种会长红浆果的泻根植物，能感觉到一根重量不到百万分之一克重的线，而世界上没有一个人、一头动物能感觉到这么细微的线。

当x ＞3时，y ′＜0.

故当x ＝3时，该商品的年利润最大．]

5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－1,2)

B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

C ．(－3,6)

D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，

由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根，

∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0，

∴a ＞6或a ＜－3.]

二、填空题

6．(2017·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，

则实数a ＝________.

5[f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.

依题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根，

所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.

经检验，a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值．] 7．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________. 【导学号：79140084】

π6＋3[y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0， 结合x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，解得x ＝π6， 易知当x ∈⎣

⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′＞0； 当x ∈⎝

⎛⎦⎥⎤π6，π2时，y ′＜0，故在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，函数y ＝x ＋2cos x 在x ＝π6时取最大值π6＋ 3.]

8．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．

(－∞，－1) [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .

∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，

则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，

∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1.]

三、解答题

9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．

2019

有一种会长红浆果的泻根植物，能感觉到一根重量不到百万分之一克重的线，而世界上没有一个人、一头动物能感觉到这么细微的线。

(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；

(2)当a <0时，若函数满足f (x )max ＝1，f (x )min ＝－3，试求y ＝f (x )的解析式．

[解] (1)f ′(x )＝－3x 2

＋2ax .

依题意f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，

即2ax ≥3x 2.∵x ＞0，∴2a ≥3x ，∴2a ≥6，∴a ≥3，

即a 的取值范围是[3，＋∞)．

(2)∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝x (－3x ＋2a )．

∵a ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23a 时，f ′(x )≤0，f (x )递减． 当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫23a ，0时，f ′(x )＞0，f (x )递增． 当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )递减．

∴⎩

⎪⎨⎪⎧ f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝1. ∴f (x )＝－x 3－3x 2＋1.

10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，

且当x ＝23

时，y ＝f (x )取极值． (1)求a ，b ，c 的值；

(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．

[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，

得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .

∴f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①

当x ＝23时，y ＝f (x )取极值，则f ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫23＝0， 可得4a ＋3b ＋4＝0，②

由①②，解得a ＝2，b ＝－4.

由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4.

所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.

(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.

令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23

. 当x 在[－3,1]上变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：