第 33 讲

相似三角形

考点一 相似三角形的定义 定义：如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似.

考点二 相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2.相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 3.相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.

考点三 相似三角形的判定 1.两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. 2.两角对应相等的两个三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似.

(1)(2010· 北京)如图， 在△ABC 中， D、 分别在 AB、 边上， 点 E AC DE∥BC, AD∶AB 若 =3∶4,AE=6,则 AC 等于( ) A.3 B.4 C.6 D.8

例(1)题

例(2)题

(2)(2010· 烟台)如图，在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且△ABC∽△DBA,则下列结 论一定正确的是( ) 2 A.AB =BC· BD B.AB2 =AC· BD C.AB· AD=BD· BC D.AB· AD=AD· CD

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(3)(2010· 临沂)如图，∠1=∠2,添加一个条件：________,使得△ADE∽△ACB.

【点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定.【解答】 (1)∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B.又∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC.∴ 3 6 = ,∴AC=8.故选 D. 4 AC AB BC = ,即 AB2=BC· BD,故选 A. DB AB AD AE (3)答案不唯一，如∠D=∠C 或∠E=∠B 或 = . AC AB (2)∵△ABC∽△DBA,∴ AD AE = , AB AC

(

1.已知△ABC∽△DEF,且 AB∶DE=1∶2,则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 B ) A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1

2.如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF,则 cosE 的值等于( 1 2 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 3

A )

(第 2 题)

(第 3 题)

3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F,如果 那么 BF 2 = . FD 3

BE 2 = , BC 3

4.如图，∠DAB=∠CAE,请补充一个条件：________,使得△ABC∽△ADE.

(第 4 题) AB AC 答案不唯一，如∠B=∠D 或∠C=∠AED 或 = 等. AD AE

(第 5 题)

5.已知△ABC,延长 BC 到 D,使 CD=BC,取 AB 的中点 F,连结 FD 交 AC 于点 E. AE (1)求 的值；(2)若 AB=a,FB=EC,求 AC 的长. AC答案：(1) AE 2 3 = (2)AC= a AC 3 2

(第 6 题) 6.如图，△ABC 内接于⊙O,AD 是△ABC 的边 BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连结 BE,△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论. △ABE 与△ADC 相似. 理由如下： 在△ABE 与△ADC 中 ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE =90° ,∵AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∴∠ADC=90° ,∴∠ABE=∠ADC.又∵同弧所对 的圆周角相等，∴∠BEA=∠DCA.∴△ABE∽△ADC.

考点训练 33

相似三角形 相似三角形 训练时间：60分钟 分值：100分 训练时间：60分钟 分值：100分

一、选择题(每小题 4

分，共 48 分)1.(2009 中考变式题)如图，小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角形(阴影部分)与 △ABC 相似的是( )

【解析】观察△ACB 得∠ACB=135° ,被选项中只有 A 图三角形含 135° 角. 【答案】A

2.(2011 中考预测题)如图，在△ABC 中，若 DE∥BC, 长为( ) A.8 cm B.12 cm C.11 cm D.10 cm【解析】∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

AD 1 = ,DE=4 cm,则 BC 的 DB 2

AD DE 1 4 = ,即 = ,∴BC=12 cm. 3 BC AD+DB BC

【答案】B