第六章 第6讲 三角函数的求值、化简与证明

第6讲

三角函数的求值、化简与证明考纲研读 1.三角函数的化简是指综合利用 诱导公式、同角基本关系式、两 角和与差的三角函数公式导出二 倍角公式，将较复杂的三角函数 进行化简. 2.化简的方法主要有异角化同 角、复(半)角化单角、异次化同次、 切函数化弦函数等，化简的结果 必须是最简形式.

考纲要求 1.能利用两角差的余弦公式导 出两角和的正弦、余弦、正切 公式，导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式，了解它们的内 在联系. 2.能运用上述公式进行简单的 恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、半角公式，但对这 三组公式不要求记忆).

1.转化思想是本节三角变换的基本思想，包括角的变换、 函数名的变换、和积变换、次数变换等.三角公式中次数和角 的关系：次降角升；次升角降.常用的升次公式有：1+sin2α

=(sinα+cosα)2 ;1-sin2α=(sinα-cosα)2 ;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.

2.三角公式的三大作用 (1)三角函数式的化简. (2)三角函数式的求值.

(3)三角函数式的证明.3.求三角函数最值的常用方法

(1)配方法.(2)化为一个角的三角函数.

(3)数形结合法.(4)换元法. (5)基本不等式法等.

1.函数 y=cos2x+2sinxcosx 的最小正周期 T=( B ) A.2π B.π π C.2 π D.3

2.已知 tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则 tan2β=( C ) 1 A.6 1 B.-6 1 C.7 1 D.-7

3.计算 1-2sin222.5° 的结果等于( B ) 1 A.2 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 2

4.tan71° -tan11° 3tan71° - tan11° 的值是( A ) A. 3 3 B. 3 C.0 D.1

1 - 2 5.sin17°cos47°-sin73°cos43°=_______.

考点1

三角函数式的化简

π 例1:(2011年北京)已知函数f(x)=4cosxsin x+6 -1.

(1)求f(x)的最小正周期； π π (2)求f(x)在区间 -6,4 上的最大值和最小值. π 解析：(1)因为f(x)=4cosxsin x+6 -1

=4cosx

3 1 -1 2 sinx+2cosx 2

= 3sin2x+2cos x-1=

π 3sin2x+cos2x=2sin 2x+6 .

所以f(x)的最小正周期为π.

π π π π 2π (2)因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 . π π π 于是，当2x+6=2,即x=6时，f(x)取得最大值2; π π π 当2x+6=-6,即x=-6时，f(x)取得最小值—1.本题是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使 三角函数中对函数y=Asin(ωx+φ)的性质研究得到延伸，体现了

三角变换在化简三角函数式中的作用.

【互动探究】 π 2cos 2x-4 +1 . π sin x+2

1.已知函数 f(x)=

(1)求 f(x)的定义域； 3 (2)若角 α 在第一象限且 cosα=5,求 f(α).

π 解：(1)由 x≠kπ-2(k∈Z), π x|x∈R且x≠kπ- ,k∈Z . 故 f(x)的定义域为

2 (2)由已知条件得 sinα= 1-cos α= π 1+ 2cos 2α-4 1+ f(α)= = π sin α+2 2

π sin x+2 ≠0,即

3 2 4 1- 5 =5,

从而

π π 2 cos2αcos4+sin2αsin4

cosα

1+cos2α+sin2α 2cos2α+2sinαcosα 14 = = =2(cosα+sinα)= 5 . cosα cosα

考点2

三角函数式的求值

例 2:锐角三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 3ac c,且 tanB= 2 2 2. a +c -b (1)求证：B=60° ; (2)求 sin(B+10° )[1- 3tan(B-10° )]的值.

a2+c2-b2 解析：(1)∵cosB= 2ac ,∴

3ac 3 =2cosB. a2+c2-b2

3 sinB 3 3 由 tanB=2cosB得cosB=2cosB,∴sinB= 2 . ∵角 B 是锐角，∴B=60° .

(2)由(1)得，原式=sin70° (1- 3tan50° ) =sin70°1- cos50° - 3sin50° 3sin50° =sin70° cos50° cos50° 3 sin70° 2 sin50° cos50°

=

1 2 cos50° - 2

2 sin30° cos50° -cos30° sin50° sin70° = cos50° -2sin20° sin70° -2sin20° cos20° = = cos50° cos50° -sin40° -cos50° = cos50° = cos50° =-1.

切化弦和边角统一都是基本方法.关于三角形中的

三角函数问题，边角的统一是问题的切入点，等式右边的分子分母均为 a,b,c 的二次齐次式，所以考虑使用余弦定理. 【互动探究】

3-sin70° =( C ) 2. 210° 2-cos1 A.2 2 B. 2 C.2 3 D. 2

考点3

三角函数中的最值问题2

例3:已知函数f(x)=4sin π π p:“4≤x≤2”.

π +x 4

-2

3 cos2x-1且给定条件

(1)求f(x)的最大值及最小值； (2)若又给条件q:“|f(x)-m|<2”且p是q的充分条件，求实数 m的取值范围.

π 解析：(1)∵f(x)=2 1-cos 2+2x -2

3cos2x-1

=2sin2x-2

π 3cos2x+1=4sin 2x-3 +1,

π π π π 2π 又∵4≤x≤2,∴6≤2x-3≤ 3 . π 即3≤4sin 2x-3 +1≤5.∴ymax=5,ymin=3.

(2)∵|f(x)-m|<2,∴m-2<f(x)<m+2. m-2≤3, 又∵p为q的充分条件，∴ m+2≥5.

解得3≤m≤5.

不等式恒成立问题，要想办法转化为求最大值、最小值问题. 而求三角函数在某区间的最值(范围)时，不要只 代两端点，要注意结合图象；p是q的充分条件，有p q.

【互动探究】

3.设向量 m=(cosx,sinx),x∈(0,π),n=(1, 3).若 f(x)(3,6] =(m+n)· n,则函数 f(x)的值域为______.

解析：∵m+n=(cosx+1,sinx+ 3), ∴f(x)=(m+n)· n=(cosx+1,sinx+ 3)· (1, 3) =cosx+1+ 3sinx+3=2 π 3 1 sinx+2cosx +4=2sin x+6 +4. 2

π π 7π ∵0<x<π,∴6<x+6< 6 . π π 1 ∴-2<sin x+6 ≤1 -1<2sin x+6 ≤2

π ∴3<2sin x+6 +4≤6.即函数f(x)的值域为(3,6].