《数学物理方程》复习笔记
时间：2025-07-05
《数学物理方程》复习笔记
毛主席教导我们：“长江，别人都说很大，其实，大，并不可怕。美帝国主义不是很大吗？我们顶了它一下，也没有啥。所以世界上有些大的东西，其实并不可怕。游泳是很好的休息，轻松自在，没有其他任何杂念，一切都顺其自然。长江又宽又深，水流湍急，是游泳的好地方。横渡万里长江，不仅可以锻炼身体，而且更能锻炼一个人的意志。要到大江大海中去游，到大风大浪中接受锻炼。”
〇、绪论（偏微分方程的基本概念）【§1章】
☆填空题：
①（13期末）方程uxx xy的通解是
②（11期末）偏微分方程定解问题的适定性是指解的
、
。
和
。
③（10期末）写出直角坐标系下的二维齐次波动方程、热传导方程和Laplace方程：
、
和
。
一、二阶线性偏微分方程的分类与标准型【§2章】
☆填空题：
①（12期末）二阶线性偏微分方程uxx 5uxy 6xux yuy 0属于②（12期末）二维Laplace方程uxx uyy 0的一个解是（
A、u exsin2y
B、u x2 y2
C、u x2 y2
型方程。
）
D、u lnx2 y2
、
和
三种类型。
③（11期末）两个自变量的二阶线性偏微分方程通常可分为
☆计算题：
①（13期末）判断方程uxx 3uxy 4uyy ux 2uy 0的类型，并化为标准型。②（11期末）判断方程uxx 4uxy 5uyy ux 2uy 0的类型，并化为标准型。
③（10期末）把方程uxx 2 uxy 3 2uyy ux uy 0化为标准型，并求其通解，其中 为常数。④（09期末）判断方程uxx 2cosxuxy (3 sin2x)uyy yuy 0的类型，并化为标准型。⑤（08期末）求方程uxx 2uxy 3uyy 4(ux uy)的通解。
⑥（07期末）求方程uxx 4uxy ux 0的通解及满足条件u(2x,4x) 0,ux(2x,4x) 4e x的特解。 2
uxx 2cosxuxy sinxuyy sinxuy 0
⑦（作业P41）求解下列定解问题：
u(x,sinx) x cosx,uy(x,sinx) sinx
(x,y) R2x R1
⑧（作业P41）求方程uxy
1
(ux uy)的通解。x y
二、二阶常系数偏微分方程定解问题的经典解法（讨论解的存在性）
1、行波法（特征线积分法）【§3章】
☆填空题：
2x utt auxx e
①（13期末）一维波动方程初值问题 2
u(x,0) 5,ut(x,0) x
u 4u ttxx
②（09期末）一维波动方程初值问题
u(x,0) x,ut(x,0) sinx
x ,t 0
的解为
x
x ,t 0
的解为
x
。
，。
点（4,1）的依赖区间是，点（2,4）的影响区域是
x ,t 0 x
u 9u
xx tt
③（07期末）一维波动方程初值问题 2
u(x,0) x,ut(x,0) e
的解为，
11
点(x0,t0) (,的依赖区间是
26
。
☆计算题：
波动方程的初值（Cauchy）问题
u 3u 4u 0
x ,y 0xyyy xx
①（12期末）用行波法求解下列初值问题：
u(x,0) e2x,uy(x,0) 1 x
2
utt c(uxx uyy) tsiny
②（11期末）求解下列二维波动方程初值问题： 32
u(x,y,0) x,ut(x,y,0) x siny
(x,y) R2,t 0(x,y) R2
（提示：利用叠加原理和一维波动方程的D’Alembert公式）
u 2u 3u 0 xxxyyy
③（作业P67）用行波法求解下列初值问题：
u(x,0) sinx,uy(x,0) x
x ,y 0 x
2、分离变量法（特征函数法）【§4章】
☆填空题：
①（13期末）在平面极坐标下二维Laplace方程可以表示为
X"(x) X(x) 0
0 x L
②（13期末）特征值问题 的特征值是
X'(0) X'(L) 0
。
，对应的特征函数是
。
2
0 x L,t 0 utt auxx cos2xsint
③（09期末）考虑定解问题： u(x,0) x,ut(x,0) cosx0 x L，为把非齐次边界条件齐次化，
u(0,t) t2,u(L,t) 1t 0x
可设u(x,t) v(x,t) (x,t)，使v(x,t)满足v(0,t) vx(L,t) 0，则 (x,t)
。
☆计算题：
（1）波动方程的初边值问题
2 utt auxx tsin( x/L)0 x L,t 0①（13期末）求解下列定解问题：
u(x,0) ut(x,0) 00 x L
u(0,t) u(L,t) 0t 0
utt uxx
0 x 2,t 0②（12期末）求解下列定解问题：
u(x,0) 0,ut(x,0) x0 x 2
u(0,t) u(2,t) 0t 0 utt c2
0 x L,t 0③（11期末）求解下列定解问题：
uxx g
u(x,0) g(L x)/2c2,ut(x,0) 00 x L u(0,t) u(L,t) 0t 0
utt uxx 10 x 1,t 0
④（10期末）求解下列定解问题：
u(x,0) x,ut(x,0) 0
0 x 1
u(0,t) 0,u(1,t) 1 tt 0
utt a2
uxx
0 x 1,t 0⑤（作业P119）求解下列定解问题：
u(x,0) 0,ut(x,0) x(1 x)0 x 1
u(0,t) u(1,t) 0t 0（2）热传导方程的初边值问题
ut uxx0 x ,t 0①（11期末）求解下列定解问题：
hu
u(x,0) x( x)0 x
u(0,t) u( ,t) 0t 0然后，就h 1,h 1,h 1分别讨论当t 时u(x,t)的极限情况。
ut uxx u
0 x 1,t 0②（10期末）求解下列定解问题：
u(x,0) x(2 x)0 x 1
u(0,t) ux(1,t) 0t 0
ut a2
uxx sin t0 x L,t 0③（09期末）求解下列定解问题：
u(x,0) x(L x)0 x L
u(0,t) u(L,t) 0t 0 ut c2
(urr ur/r)0 r a,t 0④（09期末）求解下列定解问题：
u(r,0) f(r)0 r a
u(a,t) 0t 0
ut uxx hu
0 x ,t 0⑤（08期末）求解下列定解问题：
u(x,0) x2( x)0 x
ux(0,t) u( ,t) 0t 0
g,c为正常数）
（
然后，就h
111
,h ,h ,讨论t 时，u(x,t)的极限情况，并用能量积分方法证明解的唯 …… 此处隐藏：5377字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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