1 元素与集合的关系:x A x CUA,x CUA x A. ØA A

2 集合{a1,a2, ,an}的子集个数共有2 个；真子集有2 1个；非空子集有2 1个；非空的真子集有2 2个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式f(x) ax2 bx c(a 0);

(2) 顶点式f(x) a(x h)2 k(a 0);（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式） (3) 零点式f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)时，

设为此式）

（4）切线式：f(x) a(x x0)2 (kx d),(a 0)。（当已知抛物线与直线y kx d相切且切点的

横坐标为x0时，设为此式）

4 真值表： 同真且真，同假或假 5

n

n

n

n

6 ）

充要条件： (1)、p q，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

（2）、p q，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p，则P是q的必要不充分条件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:

增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f（x）在x D上有定义，若对任意的

x1,x2 D,且x1 x2，都有

f(x1) f(x2)成立，则就叫f（x）在x D上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f（x）在x D上有定义，若对任意的

x1,x2 D,且x1 x2，都有

f(x1) f(x2)成立，则就叫f（x）在x D上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：

(1)设x1,x2 a,b ,x1 x2那么

(x1 x2) f(x1) f(x2) 0

f(x1) f(x2)

0 f(x)在 a,b 上是增函数；

x1 x2

f(x1) f(x2)

0 f(x)在 a,b 上是减函数. (x1 x2) f(x1) f(x2) 0

x1 x2

(2)设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f (x) 0，则f(x)为增函数；如果f (x) 0，则f(x)为减函数. 8函数的奇偶性：（注： 奇函数：

定义：在前提条件下，若有f( x) f(x)或f( x) f(x) 0， 则f（x）就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 . 偶函数：

定义：在前提条件下，若有f( x) f(x)，则f（x）就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；

（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 9函数的周期性： 定义：对函数f（x），若存在T 0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）

的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；

（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2m n ；

(3)、f(x m)

10常见函数的图像：

1

，此时周期为2m 。 f(x)

11 对于函数y f(x)(x R),f(x a) f(b x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是x 函数y f(x a)与y f(b x)

的图象关于直线x 12 分数指数幂与根式的性质： (1)a

mn

a b

;两个2

b a

对称. 2

a 0,m,n N ，且n 1）.

mn

（2）a

1

mn

a

（3）n

a.

a 0,m,n N，且n

1）.

（4）当n a；当n |a|

a,a 0

.

a,a 0

13 指数式与对数式的互化式: logaN b ab N(a 0,a 1,N 0).

指数性质： (1)1、a

r

p

s

10

a 1（a 0） ； (3)、amn (am)n ； （2）、p

a

r s

(4)、a a a指数函数：

(a 0,r,s Q) ； (5)、a ；

mn

(1)、 y ax(a 1)在定义域内是单调递增函数；

（2）、 y ax(0 a 1)在定义域内是单调递减函数。注： 对数性质：

(1)、 logaM logaN loga(MN) ；（2）、 logaM logaN loga(3)、 logabm m logab ；(4)、 logamb (6)、 logaa 1 ； (7)、 a对数函数：

(1)、 y logax(a 1) 在定义域内是单调递增函数；

（2）、y logax(0 a 1)在定义域内是单调递减函数；注： 对数loagb

n

M

； N

n

logab ； (5)、 loga1 0 m

b

(3)、 log a,x (0或,1)ax ,ax 0

(1,

(4)、logax 0 a (0,1)则x (1, ) 或 a (1, )则x (0,1) 14 对数的换底公式 :logaN

对数恒等式：a

n

logmN

(a 0,且a 1,m 0,且m 1, N 0).

logma

logaN

N(a 0,且a 1, N 0).

推论 logamb

n

logab(a 0,且a 1, N 0). m

15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)loga(MN) logaM logaN; (2) loga(3)logaMn nlogaM(n R); (4) logam

16 平均增长率的问题（负增长时p 0）：

x

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y N(1 p).

M

logaM logaN; N

n

Nn logaN(n,m R)。

m

17 等差数列：

通项公式： （1） an a1 (n 1)d ，其中a1为首项，d为公差，n为项数，an为末项。

（2）推广： an ak (n k)d

（3）an Sn Sn 1(n 2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和： （1）Sn

n(a1 an)

；其中a1为首项，n为项数，an为末项。 2

n(n 1)

d （2）Sn na1 2

（3）Sn Sn 1 an(n 2) （注：该公式对任意数列都适用） （4）Sn a1 a2 an （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 am an ap aq ；

注：若am是an,ap的等差中项，则有2am an ap n、m、p成等差。 （2）、若 an 、 bn 为等差数列，则 an bn 为等差数列。

（3）、 an 为等差数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2m Sm,S3m S2m也成等差数列。 （4）、ap q,aq p,则ap q 0 ； （5） 1+2+3+ +n=

等比数列：

n(n 1)

2

通项公式：（1） an a1q

n 1

a1n

q(n N*) ，其中a1为首项，n为项数，q为公比。 q

（2）推广：an ak qn k

（3）an Sn Sn 1(n 2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）Sn Sn 1 an(n 2) （注：该公式对任意数列都适用）

（2）Sn a1 a2 an （注：该公式对任意数列都适用）

na1

（3）Sn a1(1 qn)

1 q

(q 1)(q 1)

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 am an ap aq ；

注：若am是an,ap的等比中项，则有 am an ap n、m、p成等比。

（2）、若 an 、 bn 为等比数列，则 an bn 为等比数列。

2

ab(1 b)n18分期付款(按揭贷款) ：每次还款x 元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n

(1 b) 1

19三角不等式：

（1）若x (0,(2) 若x

(0,

2

)，则sinx x tanx.

)，则1 sinx cosx 2

(3) |sinx| |cosx| 1.

20 同角三角函数的基本关系式 ：sin cos 1，tan =

2

2

sin

， cos

21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式

sin( ) sin cos cos sin ;cos( ) cos cos sin sin ;

tan( )

tan tan

.

1 tan tan

b

). a

asin

bcos )

(辅助角 所在象限由点(a,b)的象限决定,tan 23 二倍角公式及降幂公式

sin2 sin cos

2

2tan

.

1 tan2

2

2

1 tan2

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin . 2

1 tan

2tan sin2 1 cos2

tan2 tan .

1 tan2 1 cos2 sin2

2

sin2

1 cos2 1 cos2

,cos2 22

24 三角函数的周期公式

函数y sin( x )，x R及函数y cos( x )，x R(A,ω, 为常数，且A≠0)的周期

T

2

；函数y tan( x )，x k ,k Z(A,ω, 为常数，且A≠0)的周期T .

| |2三角函数的图像：

25 正弦定理 ：

asinA bsinB c

sinC

2R（R为 ABC外接圆的半径）. a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC a:b:c sinA:sinB:sinC

26余弦定理：

a2 b2 c2 2bccosA;b2 c2 a2 2cacosB;c2 a2 b2 2abcosC.

27面积定理：

（1

）S

12ah12bh1

a b 2chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. （2）S 12absinC 1bcsinA 1

casinB.

(3)S OAB 22

r2S

a b－c斜边 内切圆 a b c,r直角 内切圆 2

28三角形内角和定理 ：

在△ABC中，有A B C C (A B)

C2 2 A B2

2C 2 2(A B). 29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)

(2)第一分配律：(λ+(3)第二分配律：λ(a μ) a ;

+b a=λ)=λa

a+μ+ a;

30a 与b 的数量积(或内积)：a ·b λ=|a b. ||b |cos 。

31平面向量的坐标运算：

(1)设a =(x ，则a +b

1,y1),b=(x2,y2)=(x1 x2,y(2)设a =(x 1 y2).

b

1,y1),b=(x2,y2)，则a-=(x1 x2,y1 y2).

(3)设A (4)设a (xy,则

1,1)，B(x2,y2)=(x,y),

R，则 a

AB OB OA (x2 x1,y2 y1).

=( x, y).

(5)设a =(x1,y1),b =(x2,y2)，则a ·b

=(x1x2 y1y2).

32 两向量的夹角公式：

cos a b

|a| |b|

(a

=

(x,b 1,y1)=(x2,y2)).

33

平面两点间的距离公式： d

A,B=|AB| (x1,y1)，B(x2,y2)).

| |

34 向量的平行与垂直 ：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b 0，则：

a||b b=λa x1y2 x2y1 0.（交叉相乘差为零）

a b (a 0) a·b=0 x1x2 y1y2 0.（对应相乘和为零）

P(x,y)是线段PP35 线段的定比分公式 ：设P是实数，且PPP2(x2,y2)，12的分点,1(x1,y1)，1 PP2，

x1 x2

x OP OP2 1

则 OP 1

1 y y1 y2

1

1

t （）. (1 t)OP OP tOP12

1

36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC

x x2 x3y1 y2 y3

,). 的重心的坐标是G(1

33

37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设O为 ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

2 2 2

（1）O为 ABC的外心 OA OB OC.

（2）O为 ABC的重心 OA OB OC 0.

（3）O为 ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA.

（4）O为 ABC的内心 aOA bOB cOC 0.

（5）O为 ABC的 A的旁心 aOA bOB cOC.

2

2

38常用不等式：

（1）a,b R a b 2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

a b

当且仅当a＝b时取“=”号)． 2

333

（3）a b c 3abc(a 0,b 0,c 0).

（2）a,b

R

（4）a b a b a b.

2aba b（5

）当且仅当a＝b时取“=”号)。

a b239极值定理:已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x y时和x y有最小值2p； （2）若和x y是定值s，则当x y时积xy有最大值（3）已知a,b,x,y R，若ax by 1则有

12s. 4

1111byax (ax by)( ) a b a b 2。 xyxyxy

ab

（4）已知a,b,x,y R，若 1则有

xy

abaybx

x y (x y)( ) a b a b 2

xyxy

222

40 一元二次不等式ax bx c 0(或 0)(a 0, b 4ac 0)，如果a与ax bx c同号，则

2

其解集在两根之外；如果a与ax bx c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异

号两根之间.即：

x1 x x2 (x x1)(x x2) 0(x1 x2)； x x1,或x x2 (x x1)(x x2) 0(x1 x2).

41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

x a x2 a2 a x a.

x a x2 a2 x a或x a.

42 斜率公式 ：

k

y2 y1

（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2 x1

43 直线的五种方程：

（1）点斜式 y y1 k(x x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式 y kx b(b为直线l在y轴上的截距).

y y1x x1

(y1 y2)(P 1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1 x2,y1 y2)).

y2 y1x2 x1

两点式的推广：(x2 x1)(y y1) (y2 y1)(x x1) 0（无任何限制条件！）

xy

(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a 0、b 0)

ab

（5）一般式 Ax By C 0(其中A、B不同时为0).

直线Ax By C 0的法向量：l (A,B)，方向向量：l (B, A)

（3）两点式 44 夹角公式：

k2 k1

|. (l1:y k1x b1，l2:y k2x b2,k1k2 1)

1 k2k1

AB A2B1

(2)tan |12|.(l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).

A1A2 B1B2

直线l1 l2时，直线l1与l2的夹角是.

2

45 l1到l2的角公式：

k k1

(1)tan 2.(l1:y k1x b1，l2:y k2x b2,k1k2 1)

1 k2k1

AB A2B1

(2)tan 12.(l1:A). 1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0A1A2 B1B2

直线l1 l2时，直线l1到l2的角是.

2

46 点到直线的距离

：d (点P(x0,y0),直线l：Ax By C 0).

(1)tan |47 圆的四种方程：

（1）圆的标准方程 (x a) (y b) r.

22

（2）圆的一般方程 x y Dx Ey F 0(D E 4F＞0).

2

2

222

x a rcos

（3）圆的参数方程 .

y b rsin

（4）圆的直径式方程 (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

48点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(x a) (y b) r的位置关系有三种：

若d

2

2

2

d r 点P在圆外;

d r 点P在圆上; d r 点P在圆内.

49直线与圆的位置关系：直线Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2 r2的位置关系有三种

(d

Aa Bb C

2

2

A B

d r 相离 0;d r 相切 0;d r 相交 0.

):

50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2 d，则：

d r1 r2 外离 4条公切线; d r1 r2 外切 3条公切线;

r1 r2 d r1 r2 相交 2条公切线; d r1 r2 内切 1条公切线;

r2-r1+r0 d r1 r2 内含 无公切线.

x acos x2y2c51 椭圆2 2 1(a

b 0)的参数方程是 . 离心率e

aby bsin a

a2b2准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)p 。

cc

b2

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2.

a

x2y2

52 椭圆2 2 1(a b 0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

ab

FPFa2a2

PF1 e(x ) a ex，PF2 e( x) a ex；S F1PF2 c|yP| b2tan1。

2cc

53椭圆的的内外部:

22

x0y0x2y2

（1）点P(x0,y0)在椭圆2 2 1(a b 0)的内部 2 2 1.

abab

22x0y0x2y2

（2）点P(x0,y0)在椭圆2 2 1(a b 0)的外部 2 2 1.

abab

54 椭圆的切线方程:

xxyyx2y2

(1) 椭圆2 2 1(a b 0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02 02 1.

abab

xxyyx2y2

（2）过椭圆2 2 1外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02 02 1.

abab

x2y222222

（3）椭圆2 2 1(a b 0)与直线Ax By C 0相切的条件是Aa Bb c.

ab

x2

y2a2c55 双曲线2 2 1(a 0,b 0)的离心率e ，焦点到对应

abcab2b2

准线的距离(焦准距)p 。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2.

caa2a2

焦半径公式PF1 |e(x )| |a ex|，PF2 |e( x)| |a ex|，

cc

F1PF2

两焦半径与焦距构成三角形的面积S F1PF2 bcot。

2

56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

x2y2x2y2b

(1）若双曲线方程为2 2 1 渐近线方程：2 2 0 y x.

aabab

xyx2y2b

(2)若渐近线方程为y x 0 双曲线可设为2 2 .

abaab

x2y2x2y2

(3)若双曲线与2 2 1有公共渐近线，可设为2 2

abab

（ 0，焦点在x轴上， 0，焦点在y轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b。

57双曲线的切线方程:

xxyyx2y2

(1)双曲线2 2 1(a 0,b 0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02 02 1.

abab

xxyyx2y2

(2)过双曲线2 2 1外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02 02 1.

abab

x2y222222

（3）双曲线2 2 1与直线Ax By C 0相切的条件是Aa Bb c.

ab

58抛物线y2 2px的焦半径公式:

p

抛物线y2 2px(p 0)焦半径CF x0 .

2

pp

过焦点弦长CD x1 x2 x1 x2 p.

22

b24ac b22

(a 0)的图象是抛物线： 59二次函数y ax bx c a(x )

2a4a

b4ac b2b4ac b2 1,)；,)； （1）顶点坐标为( （2）焦点的坐标为( 2a4a2a4a4ac b2 1

（3）准线方程是y .

4a

60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB

或AB

|x1 x2| |y1 y2（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程

y kx b2

消去y得到ax bx c 0

F(x,y) 0

0, 为直线AB的倾斜角，k

为直线的斜率，|x1 x2| 61证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.

62证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；

(3) 转化为两平面的法向量平行。

64 向量的直角坐标运算：

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则：

(1) a＋b＝(a1 b1,a2 b2,a3 b3)；

(2) a－b＝(a1 b1,a2 b2,a3 b3)；

(3)λa＝( a1, a2, a3) (λ R)；

(4) a·b＝a1b1 a2b2 a3b3；

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b

3)，则cos a,b

65 夹角公式：

.

66 异面直线间的距离 ：

|CD n|

(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离). d

|n|

67点B到平面 的距离：

|AB n| （n为平面 的法向量，A ，AB是 的一条斜线段）. d

|n|

432

68球的半径是R，则其体积V R,其表面积S 4 R．

3

69球的组合体：

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体

的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

13(

的),

(

的).

4470 分类计数原理（加法原理）：N m1 m2 mn.

(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a

分步计数原理（乘法原理）：N m1 m2 mn.

m71排列数公式 ：An=n(n 1) (n m 1)=

n！*

.(n，m N，且m n)．规定0! 1.

(n m)！

72 组合数公式：C

mn=

Anmn(n 1) (n m 1)n！*

==( N，m N，且m n). nm

1 2 mm！ (n m)！Am

mmn mm 1m0

组合数的两个性质:(1)Cn=Cn ;(2) Cn+Cn=Cn 1.规定Cn 1.

0n1n 12n 22rn rrnn73 二项式定理 (a b)n Cna Cnab Cnab Cnab Cnb ; rn rr

1，2 ，n). 二项展开式的通项公式Tr 1 Cnab(r 0，

f(x) (ax b)n a0 a1x a2x2 anxn的展开式的系数关系：

a0 a1 a2 an f(1)； a0 a1 a2 ( 1)nan f( 1)；a0 f(0)。

74 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1＋A2＋ ＋An)=P(A1)＋P(A2)＋ ＋P(An)． 75 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).

n个独立事件同时发生的概率：P(A1· A2· · An)=P(A1)· P(A2)· · P(An)． 76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：Pn(k) CnP(1 P)77 数学期望：E x1P1 x2P2 xnPn

k

k

n k

.

数学期望的性质

（1）E(a b) aE( ) b. （2）若 ～B(n,p),则E np. (3) 若 服从几何分布,且P( k) g(k,p) qk 1p，则E

2

2

2

1. p

78方差：D x1 E p1 x2 E p2 xn E pn

标准差： =D. 方差的性质：

(1)D a b a2D ；

(2）若 ～B(n,p)，则D np(1 p).

(3) 若 服从几何分布,且P(

k) g(k,p) qk 1p，则D

2

q. p2

2

方差与期望的关系：D E E .

79正态分布密度函数：f

x

x 2

26,x , ，

式中的实数μ， （ >0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于N( , 2)，取值小于x的概率：F x

P x1 x0 x2 P x x2 P x x1 80 f(x)在x0处的导数（或变化率）：

f(x0 x) f(x0) y

f (x0) y x x0 lim lim.

x 0 x x 0 x

ss(t t) s(t) lim瞬时速度： s (t) lim.

t 0 t t 0 t

vv(t t) v(t) lim瞬时加速度：a v (t) lim.

t 0 t t 0 t

81 函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义：

函数y f(x)在点x0处的导数是曲线y f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f (x0)，相应的切线方程是y y0 f (x0)(x x0).

82 几种常见函数的导数：

(1) C 0（C为常数）.(2) (xn) nx

x

.

(n Q).(3) (sinx) cosx.

11

(4) (cosx) sinx. (5) (lnx) ；(logax) logae.

xx

xxxx

(6) (e) e; (a) alna.

83 导数的运算法则：

n 1

u'u'v uv'

(v 0). （1）(u v) u v.（2）(uv) uv uv.（3）()

vv2

84 判别f(x0)是极大（小）值的方法：

当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 0，则f(x0)是极大值；

'

'

'

'

'

'

（2）如果在x0附近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 0，则f(x0)是极小值. 85 复数的相等：a bi c di a c,b d.（a,b,c,d R） 86 复数z a bi的模（或绝对值）|z|=|a

bi|

87 复平面上的两点间的距离公式：

d |z1 z2| z1 x1 y1i，z2 x2 y2i）.

88实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程ax bx c 0，

2

①若 b 4ac 0,

则x1,2 b2

②若 b 4ac 0,则x1 x2 ;

2a

2

③若 b 4ac 0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C

内有且仅有两个共轭复数根

2

2x b 4ac 0).

高中数学公式提升

一、集合、简易逻辑、函数

1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合

B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=

2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y｜y=x2 ,x R},N={y｜

22

y=x+1,x R},求M∩N；与集合M={（x,y）｜y=x2 ,x R},N={(x,y)｜y=x+1,x R}求M∩N的区别。 3． 集合 A、B，A B 时，你是否注意到“极端”情况：A 或B ；求集合的子集A B

时是否忘记 . 例如： a 2 x 2 a 2 x 1 0对一切x R恒成立，求a的取植范围，你讨论了a＝2的情况了吗？

2

2 1，4． 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2，

n

2n 1， 2 2.如满足条件{1} M {1,2,3,4}的集合M共有多少个

nn

5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。M {xx 2k 1,k Z},N {xx 4k 1,k Z}

7． (CUA)∩( CU B) = CU(A∪B) (CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)；A B B B A； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.

p、q形式的复合命题的真值表: （真且真，同假或假）

9、

原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.

10、你对映射的概念了解了吗？映射f：A→B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪

几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：

①如果函数y f x 对于一切x R，都有f a x f a x 或f（2a-x）=f（x），那么函数

y f x 的图象关于直线x a对称.

②函数y f x 与函数y f x 的图象关于直线x 0对称； 函数y f x 与函数y f x 的图象关于直线y 0对称； 函数y f x 与函数y f x 的图象关于坐标原点对称.

③若奇函数y f x 在区间 0, 上是递增函数，则y f x 在区间 ,0 上也是递增函数． ④若偶函数y f x 在区间 0, 上是递增函数，则y f x 在区间 ,0 上是递减函数． ⑤函数y f x a (a 0)的图象是把函数y f x 的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数

y f x a ((a 0)的图象是把函数y f x 的图象沿x轴向右平移

a个单位得到的；

函数y f x +a(a 0)的图象是把函数y f x 助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数

y f x +a(a 0)的图象是把函数y f x 助图象沿y轴向下平移a个单位得到的.

12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=

x(4 x)lg(x 3)2

的定义域是 ；

复合函数的定义域弄清了吗？函数f(x)的定义域是[0,1],求f(log0.5x)的定义域. 函数f(x)的定义域

是[a,b],b a 0, 求函数F(x) f(x) f( x)的定义域

14、一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共

定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;

15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数

单调性的一种重要方法。 16、函数y x

和0,a上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！

17、函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀. 18、换底公式及它的变形，你掌握了吗？（logab 19、你还记得对数恒等式吗？（a

logab

ax

a 0 的单调区间吗？（该函数在 ,

a和

a, 上单调递增；在

a,0

logcb

,loganbn logab） logca

b）

22

20、“实系数一元二次方程ax bx c 0有实数解”转化为“ b 4ac 0”，你是否注意到必

2

须a 0；当a=0时，“方程有解”不能转化为 b 4ac 0．若原题中没有指出是“二次”方

程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

二、三角、不等式

21、三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:________________；解题

时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,

化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 22、在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单

调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 23、在三角中，你知道1等于什么吗？（1 sinx cosx secx tanx

2

2

2

2

tanx cotx tan

4

sin

2

cos0 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广

泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系； 诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）

24、在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如 ( ) , ( ) ,

2

等）

2 2

25、你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值

的式子，一定要算出值来）

26、你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同

22

角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cosx=(1+cos2x)/2;sinx=(1-cos2x)/2 27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗？

6 26 25 1

） ,sin75 cos15 ,sin18

444

1

28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(l r,S扇形 lr)

2

（sin15 cos75

29、 辅助角公式：asinx bcosx

角的值由tan

b 的符号确定， a2 b2sin x (其中 角所在的象限由a,

b

确定)在求最值、化简时起着重要作用. a

30、三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值

时的x值的集合吗？（别忘了k Z）

三角函数性质要记牢。函数y=Asin( x ) k的图象及性质：

振幅|A|，周期T=

2

, 若x=x0为此函数的对称轴，则x0是使y取到最值的点，反之亦然，使y取到

最值的x的集合为 ， 当 0,A 0时函数的增区间为 ，减区间为 ；当 0时要利用诱导公式将 变为大于零后再用上面的结论。 五点作图法：令 x 依次为031、三角函数图像变换还记得吗？

2

, ,

3

,2 求出x与y，依点 x,y 作图 2

平移公（1）如果点 P（x，y）按向量a h,k 平移至P′（x′，y′），则

'

x x h,

'

y y k.

（2） 曲线f（x，y）=0沿向量a h,k 平移后的方程为f（x-h，y-k）=0

32、有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式

33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围

及意义？ ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是 0,

,[0,],[0, ]. 2 2

②直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角的取值范围依次是[0, ),[0, ),(0,34、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 35、分式不等式

2

]．

f x a a 0 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的系数变gx为正值，奇穿偶回）

36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)

a b

37、利用重要不等式a b 2ab 以及变式ab 你是否注意到a，b R 等求函数的最值时，

2

（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？(一正二定三相等)

2

a2 b2a b2ab38、； a、b、c R， ab , (a , b R )(当且仅当a b c时，取等号）

22a b

a2 b2 c2 ab bc ca（当且仅当a b c时，取等号）；

39、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0 a 1或a 1）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是 ．

40、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 41、对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题） 三、数列

42、等差数列中的重要性质：（1）若m n p q，则am an ap aq；（2）

数列{a2n 1}, {a2n}, {kan b}仍成等差数列；Sn , S2n Sn , S3n S2n仍成等差数列

32

12

12

32

（3）若三数成等差数列，则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为a-d、a-d、a+d、a+d； （4）在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a1 >0,d<0,解不等式组 an ≥0 an+1 ≤0 可得Sn 达最大值时的n的值;当a1 <0,d>0,解不等式组 an ≤0 an+1 ≥0 可得Sn 达最小值时的n的值;（5）．若an ,bn 是等差数列,Sn ,Tn 分别为an ,bn 的前n项和,则

amS2m 1

。.（6）.若{an}是等差数列，则{aan}是等比数列，若{an}是等比数列且an 0，则{logaan}

bmT2m 1

是等差数列.

43、等比数列中的重要性质：（1）若m n p q，则am an ap aq；（2）Sk，S2k Sk，S3k S2k成等比数列

44、你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（q 1时，Sn na1；q 1时，

a1(1 qn)

） Sn

1 q

45、等比数列的一个求和公式：设等比数列 an 的前n项和为Sn，公比为q, 则 46、等差数列的一个性质：设Sn是数列 an 的前n项和， an 为等差数列的充要条件是

47、你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若cn anbn，其中 an 是等差数列， bn 是等

比数列，求 cn 的前n项的和）

48、用an Sn Sn 1求数列的通项公式时，你注意到a1 S1了吗？ 49、你还记得裂项求和吗？（如四、排列组合、二项式定理

Sm n Sm qmSn．

Sn an2 bn （a, b为常数）其公差是2a.

111

.）

n(n 1)nn 1