§4.5一阶常系数线性微分方程组解法举例
时间:2025-07-12
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§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例一阶微分方程组的一般形式 dy1 dx f1 ( x, y1, y 2 , , y n ) dy 2 f 2 ( x, y1, y 2 , , y n ) dx dy n f n ( x, y1, y 2 , , y n ) dx
一阶线性微分方程组 dy1 dx a11 ( x ) y1 a12 ( x ) y 2 a1n ( x ) y n g1 ( x ) dy 2 a 21 ( x ) y1 a 22 ( x ) y 2 a 2 n ( x ) y n g 2 ( x ) (1) dx dy n a n1 ( x ) y1 a n 2 ( x ) y 2 a nn ( x ) y n g n ( x ) dx 若 g i ( x ) 0 (i 1, 2, , n ) ,则称方程组(1)为齐次的,否则称为非齐次的。 若 a ij ( x ) (i, j 1, 2, n )为常数 ,则称方程组(1)为 一阶常系数线性微分方程组。
4.5.1 消元法—转化为高阶线性微分方程 dy dx sin x 2 y z 例 1.求微分方程组 的通解。 dz cosx 4 y 2z dx
dy dz 解:对第一个方程求导,得 2 cosx 2 , dx dx dx dy 由第一个方程得 z sin x 2 y , dx dz dy 代入第二个方程,得 cos x 4 y 2(sin x 2 y ) dx dxdy cos x 2sin x 2 , dx
d2y
dy dz 即 cos x 2 2sin x , dx dx∴ d y dx2 2
2sin x ,
dy 2cos x C1 , dx
y 2sin x C1x C 2 ,
z sin x 2(2sin x C1x C2 ) (2cosx C1) 3sin x 2cos x 2C1x ( 2C 2 C1 ) 。
dy1 dx 2 y1 y 2 y3 dy 2 2y2 例 2.求微分方程组 的通解。 dx dy 3 4 y1 y 2 3y3 dx 2 d y1 dy1 dy 2 dy 3 dy1 2 4 y1 3y 2 3y 3 解: 2 2 dx dx dx dx dx dy1 dy1 dy1 2 4 y1 3( 2 y1 ) 2 y1 , dx dx dx
d y1 dy1 即 2 2y1 0 , dx dx
2
2 r2 2 , 特征方程为 r r 2 0 , r1 1 , x 2x y c e c e ∴ 1 1 , 2
y 2 c 3e
2x
,
dy1 y3 2 y1 y 2 dx
c1e
x
2c2e2x
2x
2(c1e x
x
c2e ) c3e
2x
2x
(4c2 c3 )e
c1e .
dx dt y z dy 例 3.求微分方程组 z x 的通解。 dt dz x y dtd ( x y) 解:由第一个方程和第二个方程得: ( x y ) , dt
x y 3C1e ,
t
同理得x z 3C2e ,dx t 由上面两式得 2x 3(C1 C 2 )e , dt
t
解得 x e [ 3(C1 C2 )e e2t
t 2 t
dt C3 ]
e 2t [(C1 C2 )e 3t C3 ],2t t 即 x C 3 e (C1 C 2 )e ,
y C 3 e (C 2 2C1 )e
2t
t
,
z C 3 e 2 t (C1 2C 2 )e t 。
作
业
习 题 七 (P249)1(2)(5)(8);
2 (3)。
总 习 题 (P219)1(奇序号);(18); 2 ;3(2);8 。
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