§4.5一阶常系数线性微分方程组解法举例

§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例一阶微分方程组的一般形式 dy1 dx f1 ( x, y1, y 2 , , y n ) dy 2 f 2 ( x, y1, y 2 , , y n ) dx dy n f n ( x, y1, y 2 , , y n ) dx

一阶线性微分方程组 dy1 dx a11 ( x ) y1 a12 ( x ) y 2 a1n ( x ) y n g1 ( x ) dy 2 a 21 ( x ) y1 a 22 ( x ) y 2 a 2 n ( x ) y n g 2 ( x ) (1) dx dy n a n1 ( x ) y1 a n 2 ( x ) y 2 a nn ( x ) y n g n ( x ) dx 若 g i ( x ) 0 (i 1, 2, , n ) ,则称方程组(1)为齐次的，否则称为非齐次的。 若 a ij ( x ) (i, j 1, 2, n )为常数 ，则称方程组(1)为 一阶常系数线性微分方程组。

4.5.1 消元法—转化为高阶线性微分方程 dy dx sin x 2 y z 例 1.求微分方程组 的通解。 dz cosx 4 y 2z dx

dy dz 解：对第一个方程求导，得 2 cosx 2 , dx dx dx dy 由第一个方程得 z sin x 2 y , dx dz dy 代入第二个方程，得 cos x 4 y 2(sin x 2 y ) dx dxdy cos x 2sin x 2 , dx

d2y

dy dz 即 cos x 2 2sin x , dx dx∴ d y dx2 2

2sin x ,

dy 2cos x C1 , dx

y 2sin x C1x C 2 ,

z sin x 2(2sin x C1x C2 ) (2cosx C1) 3sin x 2cos x 2C1x ( 2C 2 C1 ) 。

dy1 dx 2 y1 y 2 y3 dy 2 2y2 例 2.求微分方程组 的通解。 dx dy 3 4 y1 y 2 3y3 dx 2 d y1 dy1 dy 2 dy 3 dy1 2 4 y1 3y 2 3y 3 解： 2 2 dx dx dx dx dx dy1 dy1 dy1 2 4 y1 3( 2 y1 ) 2 y1 , dx dx dx

d y1 dy1 即 2 2y1 0 , dx dx

2

2 r2 2 , 特征方程为 r r 2 0 , r1 1 , x 2x y c e c e ∴ 1 1 , 2

y 2 c 3e

2x

,

dy1 y3 2 y1 y 2 dx

c1e

x

2c2e2x

2x

2(c1e x

x

c2e ) c3e

2x

2x

(4c2 c3 )e

c1e .

dx dt y z dy 例 3.求微分方程组 z x 的通解。 dt dz x y dtd ( x y) 解：由第一个方程和第二个方程得： ( x y ) , dt

x y 3C1e ,

t

同理得x z 3C2e ,dx t 由上面两式得 2x 3(C1 C 2 )e , dt

t

解得 x e [ 3(C1 C2 )e e2t

t 2 t

dt C3 ]

e 2t [(C1 C2 )e 3t C3 ],2t t 即 x C 3 e (C1 C 2 )e ,

y C 3 e (C 2 2C1 )e

2t

t

,

z C 3 e 2 t (C1 2C 2 )e t 。

作

业

习 题 七 (P249)1(2)(5)(8);

2 (3)。

总 习 题 (P219)1(奇序号);(18); 2 ;3(2);8 。