信号及其描述习题

1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)

Ce

jn n

0t

;n 0, 1, 2, 3,

n

式中： C1T 0 jn t1 0T jn

n 2TT0x(t)e0dt 0t2 jn 0tT T0( A)edt Aedt 0 20 20

T 0

1 A0

jn2

T e 0t 1 Ae jn 0t 0 jn 0 T0T 0 jn 0

2

0

jAjA1 jn jn

A

n n 2e e jn

1 cosn j2A;n 1, 3, 5 ,

n 0;

n 2, 4, 6, 所以：

x(t)

j2A jn 0t;n 1, 3, 5, 7

n n e

, 幅值频谱：

C 22

2AnnR CnI ;n 1, 3

n

, 5, 相位频谱： 2A

C ;n 1,3,5, nI n arctgC arctg

2nR0 2;n 1, 3, 5,

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms

解：

T1

T02x2

x limT 0x(t)dt Tx0sin tdt 0 ;式中：T0

00

xrms 1 T0x2(t)dt 1

T0 x0sin dt 2

dt x0

T00T002

1.3求指数函数 x ( t) Ae t; ( 0 ; t 0 ) 的频谱。 解：

X(f) x(t)e j2 ftdt

Ae t e j2 ftdt A

0 j2 f1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱.

解:1) 符号函数的频谱:

t令: x1(t) limex(t); 0

X1(f) x1(t)e j2 ftdt

0 t t

j2 ft lime( 1)edt ee j2 ftdt 0 0

1

j f

2)单位阶跃函数的频谱: t

x(t) limex(t);2 0

t 1 j2 ft

X2(f) x2(t)e j2 ftdt lim dt 0ee 0 j2 f

1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。

cos 0t;t T x(t)

t T 0;

解： T

j2 ft

X(f) x(t)edt cos2 f0te j2 ftdt T

T1 j2 f0tj2 f0t j2 ft

e eedt T2

sin (f f0)2Tsin (f f0)2T

T

(f f)2T (f f)2T00

T sinc 1 sinc 2

t

1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： x ( e sin 0 t ; ( 0 , t t)0 ) 的频谱 解： j2 ft

j2 ft t

X(f) x(t)edt esin2 f0tedt

0

j

e t e j2 f0t ej2 f0te j2 ftdt 02

j 11 2 j2 (f f) j2 (f f)00

1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。

在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什么情况？ 解：

j2 ft

X(f) x(t)edt f(t)cos2 f0t e j2 ftdt

1

f(t) e j2 f0t ej2 f0t e j2 ftdt

2 11

当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象

1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x) 解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ x0)

等式两边对x求导数： 1 dtx011

dx 22

0x0 x2(t)0 x(t) x

0 1 Tx 12 tp(x) limlim lim x 0 x T T x 0 xT

2dt1 22Tdx x0 x(t)

2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值

误差将是多少？

解：H

1j 1

1

1Y 0.35 j 1X

1 0.7

7

2

A

0.35 2

当T=1s时，A 1 0.41，即AY 0.41Ax，误差为59% 当T=2s时，A 2 0.67，误差为33% 当T=5s时，A 3 0.90，误差为8% 2.3

求周期信号x t 0.5cos10t 0.2cos100t 45

，通过传递函数为

H s

1

的装置后所得到的稳态响应。

0.005s 1

解： 利用叠加原理及频率保持性解题

x t 0.5sin10t 90 0.2sin100t 45

A

11 2

1 0.00 5

2

， arctg 0.005

1 10，A 1 1， 1 2.86

y t1 0.5 1 sin10t 90 2.86 ，

2 100 ，A 2 0.89 ， 2 26.57

y t2 0.2 0.89 sin100t 45 26.57 0.178 sin100t 18.43

y t 0.5sin10t 87.14 0.178sin100t 18.43

2.7将信号cos t输入一个传递函数为H s 在内的输出y t 的表达式。

解： x t cos t sin t 90 H s

1

的一阶装置后，试求其包括瞬态过程2s 1

11

，A ， arctg

2 s 1 y t

1 1 22

sin t 90 arctg cos t arctg

=

2.8求频率响应函数

3155072

的系统对正弦输入

1 0.01j 1577536 176j 2

x t 10sin 62.8t 的稳态响应的均值显示。

解： 写成标准形式 H

j j 12

a n2

2 nj

2n

2

1256 1

2

0.01j 1 2 2 1256 j 12562

∴ A

1 62.8 0.012

1

2

2

62.8 2 176

1

1256 1577536

1.69 0.99 1.7 对正弦波，ux

A2

1.7 10

2

12

241 n1.5

2.9试求传递函数分别为2和2的两个环节串联后组2222

S 1.4 nS nS 1.4 nS n

成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）

解： H H1 H2 H1

1.53

，S1 3

3.5S 0.57S 1

241 n

H2 2，S2 41 2

S 1.4 nS n

S S1 S2 3 41 123

2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？

解： 由振幅误差

E

|A0 AI|A

1 0 1 A 5%

AIAI

∴ A 95% 即 A

1 1

2

95% ，

2 100t

2

0.95， 5.23 10 4s

4

，且 5.23 10s时 当 2 f 2 50 100

A

1

5.23 10 4 100

2

98.7%

∴ 此时振幅误差E1 1 98.7% 1.3% arctg5.23 10 100 9.3

4

2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比

0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其振幅比A 和相角差

各为多少？若该装置的阻尼比可改为 0.7，问A 和 又将作何种变化？

解： 作频率为400Hz的正弦力测试时

A

1

1 n

2

4 2 n

2

2

1

2

400 2 2 400

4 0.14 1 800800

2

1.31

2

n arctg 2 1 n

400

2 0.14

800 arctg 2

400 1

800

10.6 当阻尼比改为 0.7时 A

1

2

400 2 2 400

4 0.7 1 800800

2

0.97

400 2 0.7

800

arctg 432

400 1

800

即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位

差变大。

2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解： 最大超调量

1

1 2

M e

1.5

即

1 2

0.13

ln1.5

1 且 Td

2

6.28

d

∴ 2

2

d n

6.28

1 1n

2

1.01

0.13 2

1 系统的传递函数 H s

Y s kXs S2

2 S

2

n

1

n

3

S2

1.01 2 2 0.13 S1.01

1

该装置在无阻尼固有频率处的频率响应 由H j

Y X K

2

j 2 j n

1n

K

1 2j

2n n ∴ H j K3

n

1 2

0.26j n 2j

n d为有阻尼固有频率 M=0.5， 2

d

T

1 M e

2

1 2

0.215 lnM

1

2

dn ，∴ n

d

2

1.02

S=3

∴H s 2n

S2 2 2

S nS n

1.04

S2 0.44 S 1.04

3

A 1n

34

2

6.98 （ n时代入得）

A

1

2

, 90

n arctg 2

y t 6.98sin 1.02t

2

4.1解 ： =2 m时，

单臂，U R

y

4RU0 0

USg R y

4R

U0

2 120 2 10 6

6

Uy 4 120

*3 3 10 (V)

双臂，UR

y

2RU0 0

USg R y

2R

U0

U2 120 2 10 6

6y 2 120

*3 6 10(V)

： =2000 m时，

单臂，Uy

R

U0 4R0

Sg R 4R

U0

Uy

2 120 2000 10 6

Uy *3 3 10 3(V)

4 120

双臂，Uy

R

U0 2R0

Sg R 2R

U0

Uy

2 120 2000 10 6

Uy *3 6 10 3(V)

2 120

双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。

4.4解：Uy

R

U0 R0

Sg R R

U0

Uy

Uy Sg (Acos10t Bcos100t) Esin10000t

Sg AEcos10tsin10000t Sg BEcos100tsin10000t

11

SgAE(sin10010t sin9990t) SgBE(sin10100t sin9900t)22

1100101001099909990

Uy(f) jSgAE[ (f ) (f ) (f ) (f )]

42 2 2 2 1101001010099009900 jSgBE[ (f ) (f ) (f ) (f )]42 2 2 2

4.5解：xa (100 30cos t 20cos3 t)(cos ct)

100cos2000 t 30cos1000 tcos2000 t 20cos3000 tcos2000 t

100cos2000 t 15(cos3000 t cos1000 t) 10(cos5000 t cos1000 t)

Xa(f) 50[ (f 10000) (f 10000)] 7.5[ (f 10500) (f 10500)]

7.5[ (f 9500) (f 9500)] 5[ (f 11500) (f 11500)] 5[ (f 8500) (f 8500)]4.10 解：H(s) 1 s 1 1RCs 1 1

10 3s 1

H( )

1

10 3

j 1

A( )

1 ( )

2

1 (10 3

)

( ) arctan( ) arctan(10 3 )

Uy 10A(1000)sin(1000t (1000)) 10 0.707sin(1000t 450) 7.07sin(1000t 450

)

4.11 解：A( )

1 ( )

2

( ) arctan( )

1

10时，

A(10) (0.05 10)

0.816

(10) arctan(0.05 10) 26.56

1

100时，

A(100)

(0.05 100)

0.408

(100) arctan(0.05 100) 78.69

y(t) 0.5 0.816cos(10t 26.56 ) 0.2 0.408cos(100t 45 78.69 ) 0.408cos(10t 26.56

) 0.0816cos(100t 33.69

)

5.1 h(t)

e t;(t 0, 0) 0;(t 0)

Rx( ) h(t) h(t )dt

e te (t )dt

e

e

2 t

dt

e2

5.2 x(t) A1sin( 1t 1

2

) A2sin( 2t 2

2

)

由同频相关，不同频不相关得：

R A2

12cos A22

x( )1 2

cos 2

5.3：由图可写出方波的基波为x1(t)

4

sin( t

2

)

Rxy( )

2

cos(

2

)

5.4: Sxy(f) H(f)Sx(f)

H(f) Sxy(f)/Sx(f)

Sxy(f) F[Rxy( )]

Sj Tx(f) F[Rx( )] F[Rxy( T)] F[Rxy( )]e H(f) e j T

5.5:见图5-16

5.6:由自相关函数的性质可知:

2x Rx(0) Acos0 A x2rms x

A

5.7:由对称性性质:

F{sinc2(t)} 1 f

2

f

2

2

(t)dt

df

sinc

2

2