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平面向量的数量积

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一.问题情景 问题情景

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如图:一个物体在力 如图 一个物体在力F 的作用下产生的位移 一个物体在力 s,,那么力 所做的功应当怎样计算？ , 那么力F 所做的功应当怎样计算？ 那么力

F θ s

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二.学生活动 学生活动

F θ

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┓

s

W =| F || s |cos θ

B F θ O S A3

W=|F||s|cosθ θ

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三.建构数学 建构数学

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平面向量的数量积

两个非零向量

a和 b , 它们的夹角为

θ ,我们把数量记作 a b

a b cos θ 叫做 a和 b的数量积(或内积),

即 a b = a b cos θ我们规定：零向量与任 一向量的数量积为 0

即0 a = 0

(0 a = 0 )

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向 量 的 夹 角

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两个非零向量 a , b , 作 OA = a , OB = b ,

则 ∠ AOB = θ 叫做向量 a和 b的夹角。 B r b 注意:求两向量的夹角 注意 求两向量的夹角, 求两向量的夹角 b 两向量必须共起点 θ r A O B a r a b θ r r r a O a a A r r θ = 90 o r r O A O b B A B b a 与 b 垂直， 垂直， θ = 0o θ = 180 o r r r r r r 记作 a ⊥ b a 与 b 反向 a 与 b 同向

θ ∈ [0 ,1800

0

]

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平面向量的数量积：a b = a b cos θ

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当 a与 b同向时， a b = a b 当 a与 b反向时， a b = a b 当 a ⊥ b时， a b = 0

特别地：当 a = b时

a a = a = a 或 a = a a = a

2

2

2

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注意!!: 注意

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平面向量的数量积

a b = a b cos θ

1 .两平面向量的数量积运 算结果是数量，而不是 向量 .2 .在书写中 a b中“ ”不能省略不写，也不 能写成“ ×” . 而对于两实数 a , b 的乘法运算可写成 ab 或 a b 或 a × b , 注意它们的区别 .

思考：对于实数 a , b 而言，若 ab = 0, 则 a = 0或 b = 0那么若 a b = 0 , 则 a = 0或 b = 0 ?7

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练习

判断下列说法是否正确(√) (× ) (× ) (× ) (√) (√)

1)若 a = 0, 则对任一向量 b , 有 a b = 0 2 )若 a ≠ 0, 则对任一非零向量 b , 有 a b ≠ 0 3) 若 a ≠ 0 , a b = 0 , 则 b = 0 4 )若 a b = 0, 则 a , b至少有一个为零向量

5 )若 a b = a b , 则 a ∥ b6 )若 a b = a b , 则 a ∥ b

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四.数学运用 数学运用

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a 例1: 已知向量 a与b的夹角为 θ , = 2 , b = 3 , 分别在下列条件下求 a b

( 1)θ = 135 0

(2 )a ∥ b

(3

)a ⊥ b

解：( 1) b = a b cos θ = 2 × 3 × cos 135 0 = 3 2 a ( 2 )当 a b时，则 θ = 0 0 或180 0 若 θ = 0 0, b = a b = 6 a 若 θ = 180 0 , b = a b = 6 a (3)当 a ⊥ b时， b = 0 a9

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如图,边长为2的等边三角形ABC, 例2 如图,边长为2的等边三角形ABC, 点D,E分别是边BC,AC的中点,求 D,E分别是边BC,AC的中点, 分别是边BC,AC的中点 1) AC AB 22) BC AB3) BC AC4) AC DE

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A

E B D C

-2 2 -13 2

5) DE AD

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对于任意实数 a , b , c , λ , 有如下运算律： (1) ab = ba ( 2 ) (λ a )b = a (λ b ) = λ (ab ) = λ ab (3) (a + b )c = ac + bc

思考：对于任意向量 a , b , c和实数 λ 而言，有没有类似的运 算律呢？

( 2) λ a b = a λ b = λ a b = λ a b(1 ) a b = b a 证明：设 a , b 夹角为

( ) ( ) ( ) (3) (a + b ) c = a c + b c

(1) a b = b a

θ,

则 a b = a b cos θ , b a = b a cos θ ∴ a b = b a11

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平面向量的数量积的运算律： 平面向量的数量积的运算律： 金太阳教育网 http://(1) a b = b a (2) λ a b = a λ b = λ a b = λ a b其中 a , b , c为任意向量， λ ∈ R

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( ) ( ) ( ) (3) (a + b ) c = a c + b c

r r r r r r ( a b ) c = a (b c )?2

练习： . a + b 1

( ) = _____ 2 .(a + b ) (a b ) = _____12

若 a c = b c, 则 a = b ?

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例3

已知 a = 6 , b = 4 , a与 b的夹角 θ = 60

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求 ( 1) a a + b ( 2 ) a + 2 b a 3 b (1) a a + b = a 2 + a b = a 2 + a b 解:

(

(

)

) (

)(

)

(2)

(a + 2b ) (a 3b ) = a2

= 36 + 12 = 48

2

a b 6b2

2

= a a b cos θ 6 b0

= 36 6 × 4 × cos 60 6 × 16 = 7213

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五.课堂小结 课堂小结

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1.了解平面向量的数量积的物理意义 了解平面向量的数量积的物理意义 2.掌握平面向量的数量积的概念 掌握平面向量的数量积的概念 3.掌握平面向量的数量积的运算律 掌握平面向量的数量积的运算律 4.理解数量积的运算是不同于实数运算 理解数量积的运算是不同于实数运算 的一种新的运算，注意它们的区别； 的一种新的运算，注意它们的区别； 5.会用数量积的运算解决一些基本问题 会用数量积的运算解决一些基本问题

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