3.2.2随机数的产生

一、教学目标:

1、知识与技能:

(1)了解随机数的概念,掌握用计算器或计算机产生随机数求随机数的方法;

(2)能用模拟的方法估计概率。

2、过程与方法:

(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力;

(2)通过模拟试验,感知应用数学解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观:

通过模拟方法的设计体验数学的重要性和技术在数学中的应用;通过动手模拟,动脑思考,体会做数学的乐趣;通过合作试验,培养合作与交流的团队精神。

二、重点与难点:

重点:随机数的产生;

难点:利用随机试验求概率.

三、教学过程

三、教学过程设计

1、问题情境，引出概念

情境：在第一节中，同学们做了大量重复的试验，比如抛硬币和掷骰子的试验，用频率估计概率，假如现在要作1000次掷骰子试验，有的同学可能觉得这样做试验花费的时间太多，你打算怎么办？

2、操作实践，了解概念

问题1：利用手工试验产生随机数的速度太慢，你有其它方法来代替试验呢？ 师生活动：学生可能回答借助计算器，但对于具体操作不是清楚．

教师利用计算器产生1到6之间的取整数值的随机数.

具体操作如下：第一步：MODE-→MODE-→MODE-→1-→0-→

第二步：6→SHIFT-→RAN#-→+-→0.5-→=

第三步：以后每次按"="都会产生一个1到6的取整数值的随机数. 问题2：怎样产生[M,N]的随机整数？

学生模仿的得出操作步骤

第一步:ON → MODE→MODE→MODE→1→0 →

第二步:N-M+1→SHIFT→RAN#→+→M-0.5 →=

第三步:以后每次按"="都会产生一个M到N的取整数值的随机数。

3、解决问题，促进学生掌握随机模拟试验方法

（1）模拟感知，操作体验

问题3：我们知道，抛一枚质地均匀的硬币出现正面向上的概率是50%，你能设计一种利用计算器模拟掷硬币的试验来验证这个结论吗？

师生活动：教师给出问题，学生独立思考，探讨解决方案．通过教师的问题启发，师生共同分析抛掷硬币的结果有两个基本事件数：正面向上、反面向上．我们只要用两个取整数值的随机数代替这两个基本事件就可以了．学生边操作边把数字记录在记录单上．

(2)思考质疑，提升认识

思考：随着模拟次数的不同，结果是否有区别，为什么？

师生活动：教师巡视，学生操作统计，思考交流．

(3)多种工具，掌握方法

教师：刚才我们利用了计算器来产生随机数，我们知道计算机有许多统计功能的软件，而且可以直接统计频数和计算频率，每个具有统计功能的软件都有随机函数.

问题4：（1）你会利用统计软件Excel来产生随机数0，1吗？你能设计一种利用计算机模拟掷硬币的试验吗？

师生活动：学生可在教师提示下回答，一般都了解Excel软件．

教师先引导，然后与学生一起熟悉一下Excel软件，了解产生随机数的函数，画统计图的功能及对统计数据结果的处理功能，这块内容基本上以教师介绍为主，教师可以边介绍边操作，可以事先做好Excel每个可操作工作表．

教师：介绍操作思路：（1）选定A1格，键入“=RANDBETWEEN（0，1）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1．并介绍随机函数randbetween（a，b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．

（2）选定A1格，按Ctrl+C快捷键，然后选定要随机产生0、1的格，比如A2至A100快捷键，则在A2至A100的数均为随机产生的0或1，这样我们很快得到了100个随机产生的0，1，相当于做了100次随机试验．

问题4：（2）为了统计方便和更直观了解出现正面向上的频率分布折线图，我们还需作一些什么准备？

师生活动：教师可以边操作边提出问题，学生观察、思考、熟悉操作一般统计步骤． 教师：介绍操作思路：

（3）选定C1格，键入频数函数“=FREQUENCY（A1：A100，0.5）”,按Enter键,则此格中的数是统计A1至A100中,比0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数．

（4）选定D1格，键入“=1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率．

问题5：（1）你能在Excel软件中画试验次数从1到100次的频率分布折线图吗？

（2）当试验次数为1000，1500时，你能说说出现正面向上的频率有些什么变化？

师生活动：教师引导，学生自己试验、观察、操作、直观感受．

教师指出：上面我们用计算机或计算器模拟了掷硬币的试验，我们称用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗（Monte Carlo）方法．蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”,以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法．与它对应的是确定性算法．蒙特卡罗模拟源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”，该计划的主持人之一数学家冯·诺伊曼对裂变中的中子随机扩散直接模拟．并用摩纳哥国的世界赌城Monte Carlo作为秘密代号来称呼．

蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，在应用物理、原子能、固体物理、化学、生物、生态学等领域都得到了广泛的应用．计算机技术的发展，使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及．现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情．它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用．借助计算机技术，蒙特卡罗方法实现了两大优点：一是简单，省却了繁复的数学报导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握；二是快速；三是节省资源．

４、加强应用，掌握随机模拟试验方法

问题6：种植某种树苗的成活率为50%，若种植这种树苗2颗，你能设计一种随机模拟的方法近似求恰好成活1棵的概率吗？

变式：种植某种树苗的成活率为，若种植这种树苗2颗，你能设计一种随机模拟的方法近似求恰好成活1棵的概率吗？

问题7:(天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有两天下雨的概率是多少？

问1：能用古典概型的计算公式求解吗？

问2：你如何模拟每一天下雨的概率为40%？

师生活动：教师给出足够时间让学生思考，对于前面两小问可让学生独立思考，作出回答．教师适当给予点拨．

师生共同分析：这里试验出现的可能结果是有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型求概率的公式．用计算器或计算机做模拟试验可以模拟下雨出现的概率是40%．

第一步，设计概率模型：

分析：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这样可以体现下雨的概率是40%．因为是3天，所以每三个随机数作为一组．

第二步，进行模拟试验：这部分内容安排学生以小组为单位，分工合作，教师事先作好统计表格，要求学生完成好，报上试验次数和三天中恰好两天出现的次数．

方法一：（随机模拟方法——计算器模拟）利用计算器随机函数

方法二：（随机模拟方法——计算机模拟）其中A，B，C三列是模拟三天的试验结果，D，E，F列为统计结果，D列表示如果三天中恰有两天下雨，则D为1，否则D为0，E1表示30天中恰有两天下雨的天数，F1表示30天恰有两天下雨的频率．

第三步，统计试验的结果．

例如，产生20组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两天下雨，它们分别是191，271，932，812，393，即共5个数．我们得到三天中恰有两天下雨的概率近似为．

思考3：你得到的频率值与课本上得到的概率近似值25%怎么不相同?为什么会有这种差异？

思考4：你知道老师为什么让你们做这些活动吗？

5、归纳小结,整体认识

问题8：（1）你能归纳利用随机模拟方法估计概率的步骤吗？

（2）通过此例，你能体会到随机模拟的优势吗？请举例说说．

师生活动：教师引导学生思考总结用随机模拟方法估计概率，解决具体问题的一般步骤：（1）建立概率模型，这是非常关键的一步．如模拟每一天下雨的概率为40%．

（2）进行模拟试验，可用计算机或计算器模拟试验．

（3）统计试验的结果．

教师：投影随机模拟方法的优势：（1）简单： 省却了繁复的数学报导和演算过程，使得一般人也能理解和掌握，（2）快速：节省时间.（3）节省资源．

6、目标检测设计

（1）将一枚质地均匀的硬币连掷三次，出现“2个正面朝上、1个反面朝上”和“1个正面朝上、2个反面朝上”的概率各是多少？并用随机模拟的方法做100次试验，计算各自的频数．

（2）假设每个人在任何一个月出生是等可能的，利用随机模拟的方法，估计在一个有10个人的集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率．