4复数的三角形式与指数形式

初等代数研究

第四讲 复数的三角形式与指数形式 在中学，我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的 四则运算法则及算律。 在《大学数学》中我们学习过建立在实数集合上的微积 分——称为实分析；同样，在复数集合上也可以讨论函数、 导数、微分、积分等问题，这就是大学数学本科(或研究 初 生)专业里一门必修课《复变函数》 等 因此我们有必要对复数了解得更多些。 本讲讲三个问题 4.1复数的三角形式 4.2复数的指数形式数 学 专 题 研 究

4.3复数的应用

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4.1、复数的三角形式 一、复数的幅角与模 我们知道复数a+bi对应着复平 面上的点(a, b),也对应复平面 上一个向量(如右图所示) 这个向量的长度叫做复数a+bi 的模，记为|a+bi|,一般情况 下，复数的模用字母r表示。 yr θ a (a,b) b

x

同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为 幅角，记为arg(a+bi),幅角一般情形下用希腊字母θ表示。 显然

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a r cos , b r sin

把它们代入复数的代数形式得：

a bi r cos ir sin r (cos i sin )

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4.1、复数的三角形式 这样，我们把 r (cos i sin ) 叫做复数a+bi的三角形式

a bi r cos ir sin r (cos i sin )二、复数三角形式的运算法则 引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘 除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。 所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运 算法则。 1、复数的乘法初 等 数 学 专 题 研 究

设

z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 )

那么 z1z2 [r1 (cos 1 i sin 1 )] [r1 (cos 1 i sin 1 )]

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4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 1、复数的乘法

z1z2 [r1(cos 1 i sin 1 )] [r2 (cos 2 i sin 2 )]

r1r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) ir1r2 (sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 ) r1r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]即初 等 数 学 专 题 研 究

z1z2 r1r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]

这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加 这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 将向量z1的模扩大为原来的r2倍，然后再将它绕原点逆时 针旋转角θ2,就得到z1z2。

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4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 2、复数的除法

r1 (cos 1 i sin 1 ) z1 z2 r2 (cos 2 i sin 2 )r1 (cos 1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) r2 (cos 2 i sin 2 )(cos 2 i sin 2 ) r1 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) r2初 等 数 学 专 题 研 究

i (sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )]r1 [c

os( 1 2 ) i sin( 1 2 )] r2

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4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 2、复数的除法 即

z1 r1 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] z2 r2初 等 数 学 专 题 研 究

这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 将向量z1的模缩小为原来的r2分之一，然后再将它绕原点 顺时针旋转角θ2,就得到z1÷z2。 3、复数的乘方。 利用复数的乘法不难得到

z n r n (cos n i sin n )这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。

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4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 3、复数的乘方。

z n r n (cos n i sin n )

这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针 旋转角nθ,就得到zn。 4、复数的开方 对于复数 z r (cos i sin ) ,根据代数基本定理及其 推论知，任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方 根。 设 z r (cos i sin ) 的一个n次方根为 (cos i sin )初 等 数 学 专 题 研 究

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4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 4、复数的开方 那么 所以

n [ (cos i sin )]n n (cos n i sin n )r n , n 2k ,(k 0, 1, 2, )n

即

r,

2k n

2k ,( k 0, 1, 2, ) n n

显然，当k从0依次取到n-1,所得到的角的终边互不相同， 但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。 因此，复数z的n个n次方根为

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k r (cosn

2k n

i sin

2k n

), ( k 0,1, 2, , n 1)

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4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 4、复数的开方

k r (cosn

2k n

i sin

2k n

), ( k 0,1, 2, , n 1)

从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差 n所以复数z的n个n次方根均匀地分布在以原点为圆心， 以它的模的n次算术根为半径的圆周上。 因此，求一个复数z的全部n次方根，可以用下面的几何手 段进行： z r (cos i sin ) n 先作出圆心在原点，半径为 r 的圆，然后作出角 的终边 n 以这条终边与圆的交点为分点，将圆周n等分，那么，每 个等分点对应的复数就是复数z的n次方根。

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4.2、复数的指数形式在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三 角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法(模相乘，幅角 相加) 这种改变运算等级的现象在初等函 …… 此处隐藏：2312字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……