高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

习题课 多元函数微分法一, 基本概念 二,多元函数微分法 三,多元函数微分法的应用

第九章

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高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

一, 基本概念1. 多元函数的定义,极限 ,连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 连续性 方向导数存在 偏导数存在 可微性

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f ( x + y , x y ) = x2 y2 + (x + y) , 且 例1. 已知 f (x,) = x,求出 f (x, y)的表达式. 0 解法1 v = x y ,则 解法 令

∴ f (u, v) = 1 (u + v)2 1 (u v)2 + (u) 4 4即

∵ f (x, 0) = x,∴ (x) = x f (x, y) = x ( y +1)解法2 解法 ∵ f (x + y, x y) = (x + y)(x y) + (x + y) 以下与解法1 相同.目录 上页 下页 返回 结束

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二,多元函数微分法1. 分析复合结构 显示结构 隐式结构(画变量关系图)

自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 "分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导" 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性目录 上页 下页 返回 结束

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例2. 设 有一阶导数或偏导数, 求

其中 f 与F分别具(1999 考研)

解法1 解法 方程两边对 x 求导, 得

d y dz xf ′ + = f + xf ′ dx dx dy dz ′ ′ F2 + F3 = F′ 1 dx dxx f ′ f +x f ′ ′ ′ ′ F2 F′ dz xF′ f ′ x F2 f ′ f F2 1 1 ∴ = = x f ′ 1 ′ dx x f ′ F′ F2 3 ′ F2 F′ 3 ′ (x f ′ F′ + F2 ≠ 0) 3目录 上页 下页 返回 结束

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z = x f (x + y) , F(x, y, z) = 0*解法2 方程两边求微分, 得 解法

化简

+ x f ′dy′ + F2 dy消去 dy 即可得

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有二阶连续偏导数, 且 u 2u u , . 求 x xy x y z 1 u 解: ′ = f1′ + f3 ( ) x+ y x x t 2 1 u ′′ ′′ ) = f12 + f13 ( x y x+ y xy

例3.设 .

f ′′ + f ′′ + 32 33 ′ 2x cos t 1 + x2 + f3 x+ y

(2xsint + x cos t ) x+ y (x + y) cos t 1 2 (x + y)目录 上页 下页 返回 结束

2

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练习题1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数

y2 (1) z = x f ( ) x y2 (2) z = f (x + ) x y2 (3) z = f (x , ) x

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解答提示: 解答提示 第 1 题

y (1) z = x f ( ) : x

2

= 2y f ′y2 2y3 2y f ′′ ( 2 ) = 2 f ′′ x x

y (2) z = f (x + ) : x2 2y 2y y ′+ ′′ (1 ) 2f f x x x2

2

2y 2y y = 2 f ′ + (1 2 ) f ′′ x x x目录 上页 下页 返回 结束

2

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y (3) z = f (x , ) : x

2

2y z 2y ′ = 2 f2 + ( x xy x2

y2 ′′ 2 f22 ) x

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2. 设 及xy

有连续的一阶偏导数 , 又函数 分别由下两式确定 ,

e xy = 2求( 2001考研 )

e =∫x

xz 0

sin t dt t

du y ex (x z) ′ ′ ′ ] f3 = f1 f2 + [1 答案: 答案 dx x sin(x z)

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三,多元函数微分法的应用在几何中的应用 1.在

几何中的应用 在几何中的 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 3. 在微分方程变形等中的应用目录 上页 下页 返回 结束

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练习题: 练习题: 1. 在曲面 平面 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 则法线方程为

提示: 提示 设所求点为

y0利用 得

x0

1法线垂直于平面 点在曲面上

y0 x0 1 = = 1 3 1 z0 = x0 y0

x0 = 3 , y0 = 1, z0 = 3目录 上页 下页 返回 结束

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2. 设

均可微, 且

已知 (x0, y0) 是 f (x, y)

在约束条件(x, y) = 0下的一个极值点, 下列选项正确的是(

D

)

(2006考研) 提示: 提示 设 ()

代入()得

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