2016-2017学年湖北省黄石市高三（上）9月调研数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∪B=（）

A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|﹣3＜x≤2}

2．已知向量=（1，3），=（sinα，cosα）且∥，则tanα=（）

A．3 B．﹣3 C．D．﹣

3．若复数z满足z（2+i）=，则z的共轭复数=（）

A．1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i

4．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）

A．B．C．2 D．9

5．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）

A．10 B．11 C．12 D．13

6．过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和

为，则|AB|=（）

A．B．C．5 D．

7．将函数f（x）=2sin2x的图象向右移动φ（0＜φ＜）个单位长度，所得的部分图象如图所示，则φ的值为（）

A．B．C．D．

8．一物体在变力F（x）=5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x=1运动到x=2时F（x）作的功为（）

A．1J B．J C．J D．2J

9．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）

A．B．C．D．

10．两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）

A．B．C．1 D．3

11．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）

A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d

12．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）

A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，ς2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=．

14．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=1，B=，△ABC的面积S=2，

则的值为．

16．将三项式（x2+x+1）n展开，当n=1，2，3，…时，得到如下左图所示的展开式，如图所示的广义杨辉三角形：（x2+x+1）0=1第0行

1

（x2+x+1）1=x2+x+1第1行 1 1 1

（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1第2行 1 2 3 2 1

（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1第3行 1 3 6 7 6 3 1

（x2+x+1）4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1第4行 1 4 10 16 19 16 10 4 1

…

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为75，则实数a的值为．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．

18．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．

（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：

①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；

②求X的数学期望和方差．

附临界值表：

K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）

关于商品和服务评价的2×2列联表：

19．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE 中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．

（1）求证：AB∥FG；

（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH 的长．

20．已知椭圆C： +=1过点A（2，0），B（0，1）两点．

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

21．设函数，f（x）=lnx+，k∈R．

（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；

（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．选修4﹣1：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EFEC．

（1）求证：CEEB=EFEP；

（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的

极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|．

（1）解不等式f（x）≥8；

（2）若不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

2016-2017学年湖北省黄石市高三（上）9月调研数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∪B=（）

A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|﹣3＜x≤2}【考点】并集及其运算．

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．

【解答】解：∵A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，

∴A∪B={x|﹣3＜x≤2}，

故选：D．

【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2．已知向量=（1，3），=（sinα，cosα）且∥，则tanα=（）

A．3 B．﹣3 C．D．﹣

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．

【分析】利用向量共线定理、同角三角函数基本关系式即可得出．

【解答】解：∵∥，∴3sinα﹣cosα=0，

∴tanα=，

故选：C．

【点评】本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．若复数z满足z（2+i）=，则z的共轭复数=（）

A．1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【解答】解：复数z满足z（2+i）=，∴z===1﹣3i，

则z的共轭复数=1+3i．

故选：A．

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）

A．B．C．2 D．9

【考点】函数的值．

【分析】先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．

【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．

故选C．

【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．

5．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）

A．10 B．11 C．12 D．13

【考点】程序框图．

【分析】先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，进行迭代，一直算到余数为零时m的值即可．

【解答】解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88

此时m=121，n=88，m除以n的余数是33

此时m=88，n=33，m除以n的余数是22

此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，

此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，

此时m=11，n=0，

退出程序，输出结果为11，

故选：B．

【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．

6．过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和

为，则|AB|=（）

A．B．C．5 D．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】利用抛物线的性质得出∴|AB|=|AF|+|BF|=x A+1+x B+1=．

【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，

设A，B的横坐标分别为x A，x B，则x A+x B=．

∴|AF|=x A+1，|BF|=x B+1．

∴|AB|=|AF|+|BF|=x A+x B+2=．

故选：D．

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．

7．将函数f（x）=2sin2x的图象向右移动φ（0＜φ＜）个单位长度，所得的部分图象如图所示，则φ的值为（）

A．B．C．D．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式，再根据五点法作图求得φ的值．

【解答】解：将函数f（x）=2sin2x的图象向右移动φ（0＜φ＜）个单位长度，

可得y=2sin2（x﹣φ）=2sin（2x﹣2φ）的图象，根据所得的部分图象，

可得2﹣2φ=，∴φ=，

故选：A．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，根据五点法作图求得φ的值．

8．一物体在变力F（x）=5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x=1运动到x=2时F（x）作的功为（）

A．1J B．J C．J D．2J

【考点】定积分的简单应用．

【分析】由物理学知识知，变力F（x）所作的功对应“位移﹣力”只要求W=∫12（5﹣x2）cos30°dx，进而计算可得答案．

【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．

如图：F在位移方向上的分力F′=Fcos30°，

W=∫12（5﹣x2）cos30°dx=∫12（5﹣x2）dx

=（5x﹣x3）|12

=

故选：C

【点评】本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法，属于基础题．

9．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）

A．B．C．D．

【考点】几何概型．

【分析】设送报人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可．

【解答】解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，

以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，

建立平面直角坐标系（如图）

则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示

∴所求概率P=1﹣=；

故选：D．

【点评】本题考查几何概型的会面问题，准确作图利用面积作为几何测度是解决问题的关键，属中档题．

10．两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）

A．B．C．1 D．3

【考点】圆与圆的位置关系及其判定；基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由=3，得到=1，

=+=++，使用基本不等式求得的最小值．

【解答】解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2=4，x2+（y﹣2b）2=1，

圆心分别为（﹣a，0），（0，2b），半径分别为2和1，故有=3，∴a2+4b2=9，

∴=1，∴=+=++

≥+2

=1，当且仅当= 时，等号成立，

故选 C ． 【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式

的应用，得到

=1，

是解题的关键和难点．

11．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）

A ．a ，b

B ．a ，c

C ．c ，b

D ．b ，d 【考点】简单空间图形的三视图．

【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．

【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．

∴其正视图和侧视图是一个圆，

∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上

∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，

故选：A ．

【点评】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，对于几何体，他描述的应该熟悉，想想出它的样子，才能够作对此题．

12．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）

A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3

【考点】利用导数研究函数的极值；函数的值．

【分析】根据g（m）=f（n）=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．

【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，

∴e m﹣2=ln+=t，（t＞0）

∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2e，

故n﹣m=2e﹣2﹣lnt，（t＞0）

令h（t）=2e﹣2﹣lnt，（t＞0），

h′（t）=2e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，

当t＞时，h′（t）＞0，

当0＜t＜时，h′（t）＜0，

即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，

此时h（）=2e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；

故选：B

【点评】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．