一类矩阵方程组带有子矩阵约束的最小二乘中心对称解

第3 2卷第3期2 0 1 5年0 6月

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V o 1 . 3 2 N。 . 3J u n e 2 0 1 5

CHI NES E J OURNAL OF ENGI NEERI N G M ATHEM ATI CS

d o i: 1 0 . 3 9 6 9/ j . i s s n . 1 0 0 5— 3 0 8 5 . 2 0 1 5 . 0 3 . 0 0 9

文章编号： 1 0 0 5— 3 0 8 5 ( 2 0 1 5 ) 0 3— 0 3 9 7— 1 9

一

类矩阵方程组带有子矩阵约束的最z j x - .乘中心对称解术彭卓华，刘金旺f湖南科技大学数学与计算科学学院，湘潭 4 1 1 2 0 1 1

摘要：约束矩阵方程问题在控制理论、振动理论、工程和科学计算等领域具有重要应用 .基于共轭梯度法的思想，本文构造了一种算法，以寻求一类矩阵方程组的带有子矩阵约束的最小二乘中心对称解 .在没有舍入误差的情况下，该算法经过有限步迭代得到了 矩阵方程组带子矩阵约束的最小二乘中心对称解，而且，通过选择一种特殊的初始矩阵，得到了矩阵方程组的带子矩阵约束的最小范数最小二乘中心对称解 .数值实验显示该算法具有较快的收敛速度 . 关键词：中心主子矩阵；中心对称解；子矩阵约束；最小二乘解；最小范数解

分类号： AM S ( 2 0 0 0 1 1 5 A2 4; 6 5 F 1 0; 6 5 F 3 0

中图分类号： O1 7 5 . 1 3

文献标识码： A

1 引言矩阵方程问题是当今数值计算领域的热门研究课题，在控制理论、振动理论、

稳定分析等领域具有广泛的应用，一直受到专家和学者们的高度重视和广泛关注 .例如，Y u a n[ l利用四元素矩阵的复表示得出了矩阵方程 A B+ D= E的最小

范数叩一 He r mi t i a n和卵一 a n t i— He r mi t i a n解的表达式 .W a n g[ 2】在正则环中研究了矩阵方程组 Al X B1: C1,A2 XB2= ,并给出了这个矩阵方程组解存在的充要条件和通解的表达式 .Wa n g[ 0]给出了矩阵方程组—

Y Bi= Ci, i= 1, 2, 一， 8, Ai X Bi— Y D i= Ei, i= 1, 2, 一， 8,

具有双对称解的充分必

要条件 .

近年来，很多学者对一些约束矩阵 (诸如双对称矩阵，中心对称矩阵等)的子矩阵约束问题产生了浓厚的兴趣 .例如，L i a o[ 】研究了带有子矩阵约束的双对称矩阵逆特征值问题 .Go n g[ 】研究了矩阵方程 AXAT= B带顺序主子矩阵约束的反对称解 .Z h a o[ 6]研究了矩阵方程 A: B带中心主子矩阵约束的双对称解 .然而，矩阵方程组AX B+ y D= U, EX F+ GY H: V收稿日期： 2 0 1 3— 1 2— 2 3 .作者简介：彭卓华 ( 1 9 6 7年2月生),男，博士，副教授 .研究方向：数值代数基金项目：国家自然科学基金 ( 1 1 4 7 1 1 0 8 );湖南省高校创新平台开放基金 ( 1 3 K0 8 7 ) .

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第3 2卷

带中心主子矩阵约束的中心对称解，还没有相关的结论，而且上述文献中的方法不能直接求得这个解 .由于矩阵方程组的系数矩阵往往来自实验，可能不满足方程组的可解条件 .

因此，本文讨论最小二乘问题 .为了论述方便，首先介绍一些符号和知识 .

m 和分别表示 m×n实矩阵和实数的集合 . ( =( e , e 一 1,…, e 1 ) )表示佗×n反单位矩阵 ( e 表示 n×n单位矩阵的第 i列) .上标， t r和 0分别表示矩阵的转

置、迹和直和.设A, B∈R ,定义A与B的内积为( A, B)=t r ( B T A) .由这种内积生成的范数，就是 F r o b e n i u s范数，用 l I A I l来表示 .定义 1称矩阵 X= ( z i f )∈ 为中心对称矩阵，如果 X= XS n,即

x i j=x n+ 1一 t, n+ 1一 J, 1 i, J n . 用C札 X表示 n阶实中心对称矩阵的集合 .

定义 2矩阵 X: ( 巧 )∈

被称为中心反对称矩阵，如果 X=一

s礼，即

x i j= -X n+ 1一 t, n+ 1一 J, 1 i, J 犯 . 用A 表示 n阶实中心反对称矩阵的集合 .

引理 1若矩阵 X∈ ×礼，则+∈ C, 一 X ∈ AR .

证明容易由定义 1和定义 2得到.定义3【 l 给定矩阵 M∈ ×札，如果 n— q是偶数，那么通过删除

矩阵 M前

后

行和列，就得到 M的一个 q阶中心主子矩阵，用符号 Mc ( g )来表示，即 ( g )= 一 .

如果矩阵M带有中心主子矩阵 (口 ),其他元素全部为0,那么M就能被 ( q )完全确定 .当 M具有这种结构时，用。来表示，即

一

=

兰

c

=

{ : O 0 O ), x∈ c

第3期

彭卓华，刘金旺：一类矩阵方程组带有子矩阵约束的最小二乘中心对称解

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显然，C

和c R2 都是 R似的线性子空间 .

引理 2基本性质：

1 1 C Rn×与 A n×”的元素正交，并且

”= CRn× 0 A R ;

2 ) c R? 与c证明第 1步

的元素正交，并且 C N =c

0 c R .

先证性质 1 ),分 3步证明 . 对任意的 X∈R,设=

,

=

,

贝 U

∈C R” ,Xb∈AⅡ ”,并且

X: Xn+Xb .第 2步如果存在另一个 E c , E AI R ,满足

( 1 )

X:。+ b,

( 2 )

( 2 )式减去( 1 )式，得。一 =

Xb一 .

( 3 )

( 3 )式两边乘以 ,得

s n X s 一s x s n—S X b S n—S X I b s即一

瓦=一 x b+K .=咒 .

( 4 )

于是，由( 3 )式和 ( 4 )式可得=xo,第3步对任意的

∈C I R“, Xb∈A I R ,则

(, )=t r ( XT X。 )=t r (于是 ( , Xb )=0 .因此，根据第 l步至第 3步，性质 1 1成立 .

)=一 t r ( XT X￣ )=一 ( x。,范) .

性质 2 )的证明与性质 1 )的证明类似 .推论 1对任意的Z∈定义 5定义是从。

证毕和z 3∈

,存在唯一的 Z1∈ C ×礼，z 2∈ C到C: R

A R nד,满足Z=Z 1+z 2+z 3,其中(, )=0,i≠J,, J=1, 2, 3 .的线性投影算子 …… 此处隐藏：17338字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……