第7讲 抛物线

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最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几 何图形、标准方程及简单几何性质.

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知识梳理1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离 相等 的 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做 抛物线的 准线 .

(2)其数学表达式：|MF|=d(其中d为点M到准线的距离).

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2.抛物线的标准方程与几何性质

图形

标准 方程

y2 =

2px(p>0)

y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离

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顶点 对称轴 焦点 性 质 离心率 准线方程 范围 开口方向 p x=- 2 p x= 2 y=0 p F 2,0

O(0,0) x=0 p F 0,2 p F 0,-2

p F -2,0

e=1 p y=- 2 p y= 2

x≥0,y x≤0,y∈ y≥0,x∈ y≤0,x∈ ∈R 向右 R 向左 R 向上基础诊断

R 向下考点突破 课堂总结

诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨 迹一定是抛物线. (× )

(2)方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线， a 且其焦点坐标是 4,0 ,准线方程是

a x=-4.

(× ) (× )

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.

(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截 得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2=-2ay(a>0) 的通径长为 2a.基础诊断 考点突破

(√ )课堂总结

1 2 2.(2014· 安徽卷)抛物线 y=4x 的准线方程是 ( A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 解析 1 2 由 y= x ,得 x2=4y,焦点在 y 轴正半轴上，且 4 )

p 2p=4,即 p=2,因此准线方程为 y=-2=-1.故选 A. 答案 A

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3.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F, 5 A(x0,y0)是 C 上一点，|AF|=4x0,则 x0= A.1 B.2 C.4 D.8 1 1 解析 由 y =x,得 2p=1,即 p=2,因此焦点 F 4,0 , 2

(

)

1 准线方程为 l:x=-4.设 A 点到准线的距离为 d,由抛物线 1 5 的定义可知 d=|AF|,从而 x0+4=4x0,解得 x0=1,故选 A. 答案 A基础诊断 考点突破 课堂总结

2 2 x y 4. (2014· 上海卷)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右 9 5

焦点重合，则该抛物线的准线方程为________.2 2 x y 解析 ∵c2=9-5=4,∴c=2,∴椭圆 9 + 5 =1 的右焦点

p 为(2,0),∴2=2,即抛物线的准线方程为 x=-2. 答案 x=-2

基

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5.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨 迹方程为__________. 解析 设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距

离与到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x. 答案 y2=4x

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考点一 抛物线的定义及应用 【例1】 (1)F是抛物线y2 =2x 的焦点， A,B是抛物线上的两

点 ， |AF| + |BF| = 6 , 则 线 段 AB 的 中 点 到 y 轴 的 距 离 为________. (2)已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影 是M ,点A的坐标是 (4, a) ,则当|a|> 4时，|PA| +|PM| 的 最小值是________.

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解析

(1)如图，过 A,B 分别作准线的垂线，

垂足分别为 D,E,由|AF|+|BF|=6 及抛物线 的定义知|AD|+|BE|=6,所以线段 AB 的中点 1 到准线的距离为2(|AD|+|BE|)=3.又抛物线的 1 准线为 x=- ,所以线段 AB 的中点到 y 轴的 2 5 距离为2.

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(2)将 x=4 代入抛物线方程 y2=4x,得 y=± 4,|a|>4,所以 A 在抛物线的外部， 如图.由题意知 F(1,0),抛物线上点 P 到准线 l:x=-1 的距离为|PN|,由定 义知，|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA| +|PF|-1.当 A,P,F 三点共线时，|PA|+ |PF|取最小值，此时|PA|+|PM|也最小， 最小值为|AF|-1= 9+a2-1. 5 答案 (1)2 (2) 9+a2-1

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规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物

线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦 点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.

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【训练 1】 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小 值为 ( 17 A. 2 B.3 9 C. 5 D. 2 )

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解析

抛物线 y =2x 的焦点为

2

1 F 2,0 ,准线是

l,由抛物线的

定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离，因此要求 点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小 值，可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离 之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点 F 到点 (0,2) 的距离.因此所求的最小值等于 17 2 ,选 A. 1 2+ -2 2 = 2

答案 A基础诊断 考点突破 课堂总结