正切函数的图象和性质

4.10 正切函数的图像和性质 一、引入 如何用正弦线作正弦函数图象呢？1、用平移正弦线得 y sinx, x [0,2 ]图象.

2、再利用周期性把该段 图象向左、右扩展得到 .

类 比

用正切线作正切函数y=tanx的图象

4.10 正切函数的图像和性质

二、探究用正切线作正切函数图象问题1、正切函数 y

= tanx 是否为周期函数？

∵f x +π = tan x +π = tanx f x ∴ y 期.

= tanx

是周期函数，

是它的一个周

我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ππ (- , ) 2 2

为什么？

y tan x 利用正切线画出函数 ，x , 的图像: 2 2

4.10 正切函数的图像和性质问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？

y

tan x,x , 2 2

角 的终边 3 T

Y

( , tan )3 3

A

0

3

X

y tan x x 利用正切线画出函数 ， , 的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 , , , , , 8 8 8 4 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

3 0 2 8 4 8

8

4

3 8

2

4.10 正切函数的图像和性质

正切曲线

是由通过点 (k ,0)(k Z )且与 y 轴相互平行的 2直线隔开的无穷多支曲线组成渐 进 线 渐 进 线

3 2

0

正 切 函 数 图 像性质 :

渐 近 线

渐 近 线

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

定义域： {x | x k , k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。

⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) , k Z 内都是增函数。 2 2 k Z x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2

kπ ( ,0) 2

问 题

讨

论

问题：(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？AB

π π (- + kπ, + kπ) ,k Z 2 2

在每一个开区间 内都是增函数。

基础练习1.关于正切函数 y

tan x , 下列判断不正确的是(B )

A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线 段相等2.函数

y tan(3x)的一个对称中心是(B. ( , 0) 4

C )

A . ( , 0) 9

C. ( , 0) 6

D. ( , 0) 4

例题分析

例1、比较下列每组数的大小。 13π o o 11π tan() 与 tan((1)tan167 与tan173 (2) )解: (1) 900

11 (2) tan( ) tan , tan( 13 ) tan 2 4 4 5 5 2 又y tan x在 0, 0 , 是增函数 2 4 5 2

tan1670 tan1730

y

tan x在 , 上是增函数， 2

167 173 1800 0

4

0

5

2 tan tan 4 5 11 13 tan( ) tan( ). 4 5

例题分析例1、比较下列每组数的大小。

(1)tan167 与tan173解:0 0 0

o

o

13π 11π tan() 与 tan() (2) 4 5

90 167 173 180 tan167 tan1730 0

0

y tan x在 , 上是增函数， 2

说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。

例题分析例 2. 求函数y tan( x 解:

4

)的定义域、值域和单调区间.

因此，函数的定义域是 x x R且x k , k Z 4

设t x , 则y tan t的定义域为 t t R且t k + , k Z 4 2 x k , x k 4 2 4

值域 : R

k x k 2 4 2 3 k x k 4 4 3 函数的单调增区间是 k , k , k Z 4 4

y tan t的单调增区间是 - k , k , k Z 2 2

反馈演练

1、比较大小：0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π > (2)tan()_____tan() 4 5 2、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增 区间。 0

值域： R k k 单调递增区间：( , ) ,k z 6 3 6 3

例题分析例3 求函数 解：

y tan 3x

的周期.

因为tan(3x ) tan 3x, 即tan3(x+ )=tan3x, 3 这说明自变量 x ,至少要增加 ，函数的值 3 才能重复取得，所以函数 y tan 3x 的周期是

反馈练习：求下列函数的周期：

3

x (1) y 5 tan 2

2

(2) y tan( 4 x)

4

例题分析tan x 3 例 4 解不等式：y

解：

3

T

A

0

x

解法1

解法2

由图可知：x k , k (k Z ) 3 2

例题分析tan x 3 例 4 解不等式：

解：

y

30

x2

3

解法1

解法2

由图可知：x k , k (k Z ) 3 2