2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案 第55课向量的数量积(含解析

1 第55课 向量的数量积

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2. 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算.

3. 能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直.

1. 阅读：必修4第83～88页.

2. 解悟：①数量积的定义；②向量b 在向量a 方向上的投影；③两个向量夹角的范围；④重解第87页例4，体会解题的方法和规范.

3. 践习：在教材空白处，完成第89～90页习题12～18题.

基础诊断

1. 判断下列各题正确与否：

(1) 0·a ＝

(2) 0·a ＝0.( √ )

(3) 若a ≠0，a·b ＝a·c ，则b

＝

(4) 若a·b ＝a·c ，则b ≠c ，当且仅当a ＝0时成立

(5) (a·b)·c ＝a·(b·c)，对任意a ，b ，c 向量都成立

(6) 对任意向量a ，有a 2＝|a|2.( √ )

【分析与点评】 (1)(2) 实数与向量的乘积是一个向量，向量与向量的数量积是一个实数；(3) 向量不能进行除法运算；(4) 当a ⊥(b －c)时也成立；(5) 向量间的乘法不具有结合律.

2. 已知A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则AB →·AC →＝ －4 .

解析：由题意得AB →＝(2，1)，AC →＝(－2，0)，所以AB →·AC →＝(2，1)·(－2，0)＝－4.

3. 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝ 32

a 2 . 解析：由题意得，|BA →|2＝a 2，BA →·BC →＝a ×a ×cos 60°＝12

a 2，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·BA →＝|BA →|2＋BC →·BA →＝a 2＋12a 2＝32

a 2. 4. 已知|a|＝2，|b|＝4，且(a ＋b)⊥a ，则向量a 与

b 的夹角为 2π3 . 解析：由题意得(a ＋b)·a ＝0，即a 2＋a·b ＝0，所以a·b ＝－|a|2＝－4.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a·b |a||b|

＝－42×4

＝－12，所以θ＝2π3. 范例导航

考向❶ 通过定义求平面向量的数量积

例1 已知|a|＝2，|b|＝1，a 与b 的夹角为135°.

(1) 求(a ＋b)·(2a －b)的值；

(2) 若k 为实数，求|a ＋k b|的最小值.

解析：(1) 由题意得a·b ＝|a||b|cos 135°＝－1，(a ＋b)·(2a －b)＝2a 2－b 2＋a·b ＝4－1－1＝2.

(2) |a ＋k b|2＝|a|2＋k 2|b|2＋2k a·b ＝k 2－2k ＋2＝(k －1)2＋

1.

2 当k ＝1时，|a ＋k b|2的最小值为1，即|a ＋k b|的最小值为1.

已知向量a 、b 满足||b ＝1，且a 与b －a 的夹角为2π3，则|a|的取值范围是 ⎝

⎛⎦⎤0，233 . 解析：在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b.因为b －a ＝AC →－AB →＝BC →，a 与b －a 的夹角为120°，所以∠ABC

＝60°.因为|AC →|＝|b|＝1，所以|a|sin C ＝|b|sin 60°，所以|a|＝233sin C ≤233，所以|a|∈⎝

⎛⎦⎤0，233. 考向❷ 通过“基底法”求平面向量的数量积

例2 如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，

AC →＝3AE →，F 为DE 的中点，求BF →·DE →的值.

解析：DE →＝AE →－AD →＝13AC →－12

AB →， BF →＝DF →－DB →＝12DE →－12AB →＝16AC →－34

AB →， 所以BF →·DE →＝(16AC →－34AB →)·(13AC →－12

AB →) ＝118|AC →|2－13AC →·AB →＋38

|AB →|2＝2－4＋6＝4.

在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，OA ＝3，OC ＝5. 若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →＝ 9 .

解析：因为O 为BD 的中点，所以OB →＋OD →＝0.因为AB →·AD →＝－7，所以(AO →＋OB →)·(AO →＋OD →)＝|AO →|2＋

AO →·OD →＋OB →·AO →＋OB →·OD →＝|AO →|2＋AO →·(OD →＋OB →)－|OB →|2＝|AO →|2－|OB →|2＝－7，即32－|OB →|2＝－7，所以|OB

→|2＝16，所以|OB →|＝|OD →|＝4，所以BC →·DC →＝(BO →＋OC →)·(DO →＋OC →)＝BO →·DO →＋BO →·OC →＋OC →·DO →＋|OC →|2＝－|BO

→|2＋OC →·(BO →＋DO →)＋|OC →|2＝－16＋52＝

9，故BC

→·

DC →的值为9.

考向❸ 通过建系法求平面向量的数量积

3 例3 在矩形ABCD 中，边长AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且BM BC ＝CN CD

，则AM →·AN →的取值范围是 [1，4] .

解析：以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以点

A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1).设点M 的坐标为(2，y)，点N 的坐标为(x ，1).因为BM BC ＝CN CD

，所以y ＝2－x 2，所以AN →＝(x ，1)，AM →＝⎝⎛⎭⎫2，2－x 2，所以AM →·AN →＝⎝

⎛⎭⎫2，2－x 2·(x ，1)＝3x 2＋1，0≤x ≤2，所以1≤3x 2＋1≤4，即AM →·AN →∈[1，4].

在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是

[4，6] .

解析：以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则点

A(3，0)，B(0，3)，所以直线AB 的方程为x 3＋y 3

＝1，即y ＝－x ＋3.设点N(a ，3－a)，M(b ，3－b)，且0≤a ≤3，0≤b ≤3.不妨设a>b ，因为MN ＝2，所以(a －b)2＋(3－a －3＋b)2＝2，所以a －b ＝1，所以a ＝b ＋1，所以

0≤b ≤2.CM →·CN →＝(a ，3－a)·(b ，3－b)＝2ab －3(a ＋b)＋9＝2(b ＋1)b －3(b ＋1＋b)＋9＝2(b －1)2＋4.因为

0≤b ≤2，当b ＝0或b ＝2时有 …… 此处隐藏：1762字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……