2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案 第55课向量的数量积(含解析

时间:2025-07-10

1 第55课 向量的数量积

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2. 掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算.

3. 能利用数量积表示两个向量夹角的余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直.

1. 阅读:必修4第83~88页.

2. 解悟:①数量积的定义;②向量b 在向量a 方向上的投影;③两个向量夹角的范围;④重解第87页例4,体会解题的方法和规范.

3. 践习:在教材空白处,完成第89~90页习题12~18题.

基础诊断

1. 判断下列各题正确与否:

(1) 0·a =

(2) 0·a =0.( √ )

(3) 若a ≠0,a·b =a·c ,则b

(4) 若a·b =a·c ,则b ≠c ,当且仅当a =0时成立

(5) (a·b)·c =a·(b·c),对任意a ,b ,c 向量都成立

(6) 对任意向量a ,有a 2=|a|2.( √ )

【分析与点评】 (1)(2) 实数与向量的乘积是一个向量,向量与向量的数量积是一个实数;(3) 向量不能进行除法运算;(4) 当a ⊥(b -c)时也成立;(5) 向量间的乘法不具有结合律.

2. 已知A(2,1),B(4,2),C(0,1),则AB →·AC →= -4 .

解析:由题意得AB →=(2,1),AC →=(-2,0),所以AB →·AC →=(2,1)·(-2,0)=-4.

3. 已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC =60°,则BD →·CD →= 32

a 2 . 解析:由题意得,|BA →|2=a 2,BA →·BC →=a ×a ×cos 60°=12

a 2,所以BD →·CD →=(BA →+BC →)·BA →=|BA →|2+BC →·BA →=a 2+12a 2=32

a 2. 4. 已知|a|=2,|b|=4,且(a +b)⊥a ,则向量a 与

b 的夹角为 2π3 . 解析:由题意得(a +b)·a =0,即a 2+a·b =0,所以a·b =-|a|2=-4.设a 与b 的夹角为θ,所以cos θ=a·b |a||b|

=-42×4

=-12,所以θ=2π3. 范例导航

考向❶ 通过定义求平面向量的数量积

例1 已知|a|=2,|b|=1,a 与b 的夹角为135°.

(1) 求(a +b)·(2a -b)的值;

(2) 若k 为实数,求|a +k b|的最小值.

解析:(1) 由题意得a·b =|a||b|cos 135°=-1,(a +b)·(2a -b)=2a 2-b 2+a·b =4-1-1=2.

(2) |a +k b|2=|a|2+k 2|b|2+2k a·b =k 2-2k +2=(k -1)2+

1.

2 当k =1时,|a +k b|2的最小值为1,即|a +k b|的最小值为1.

已知向量a 、b 满足||b =1,且a 与b -a 的夹角为2π3,则|a|的取值范围是 ⎝

⎛⎦⎤0,233 . 解析:在△ABC 中,设AB →=a ,AC →=b.因为b -a =AC →-AB →=BC →,a 与b -a 的夹角为120°,所以∠ABC

=60°.因为|AC →|=|b|=1,所以|a|sin C =|b|sin 60°,所以|a|=233sin C ≤233,所以|a|∈⎝

⎛⎦⎤0,233. 考向❷ 通过“基底法”求平面向量的数量积

例2 如图,在△ABC 中,已知AB =4,AC =6,∠BAC =60°,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且AB →=2AD →,

AC →=3AE →,F 为DE 的中点,求BF →·DE →的值.

解析:DE →=AE →-AD →=13AC →-12

AB →, BF →=DF →-DB →=12DE →-12AB →=16AC →-34

AB →, 所以BF →·DE →=(16AC →-34AB →)·(13AC →-12

AB →) =118|AC →|2-13AC →·AB →+38

|AB →|2=2-4+6=4.

在平面四边形ABCD 中,O 为BD 的中点,OA =3,OC =5. 若AB →·AD →=-7,则BC →·DC →= 9 .

解析:因为O 为BD 的中点,所以OB →+OD →=0.因为AB →·AD →=-7,所以(AO →+OB →)·(AO →+OD →)=|AO →|2+

AO →·OD →+OB →·AO →+OB →·OD →=|AO →|2+AO →·(OD →+OB →)-|OB →|2=|AO →|2-|OB →|2=-7,即32-|OB →|2=-7,所以|OB

→|2=16,所以|OB →|=|OD →|=4,所以BC →·DC →=(BO →+OC →)·(DO →+OC →)=BO →·DO →+BO →·OC →+OC →·DO →+|OC →|2=-|BO

→|2+OC →·(BO →+DO →)+|OC →|2=-16+52=

9,故BC

→·

DC →的值为9.

考向❸ 通过建系法求平面向量的数量积

3 例3 在矩形ABCD 中,边长AB =2,AD =1,若M ,N 分别是边BC ,CD 上的点,且BM BC =CN CD

,则AM →·AN →的取值范围是 [1,4] .

解析:以AB 所在的直线为x 轴,以AD 所在的直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,所以点

A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1).设点M 的坐标为(2,y),点N 的坐标为(x ,1).因为BM BC =CN CD

,所以y =2-x 2,所以AN →=(x ,1),AM →=⎝⎛⎭⎫2,2-x 2,所以AM →·AN →=⎝

⎛⎭⎫2,2-x 2·(x ,1)=3x 2+1,0≤x ≤2,所以1≤3x 2+1≤4,即AM →·AN →∈[1,4].

在Rt △ABC 中,CA =CB =3,M ,N 是斜边AB 上的两个动点,且MN =2,则CM →·CN →的取值范围是

[4,6] .

解析:以C 为坐标原点,CA 所在的直线为x 轴,CB 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则点

A(3,0),B(0,3),所以直线AB 的方程为x 3+y 3

=1,即y =-x +3.设点N(a ,3-a),M(b ,3-b),且0≤a ≤3,0≤b ≤3.不妨设a>b ,因为MN =2,所以(a -b)2+(3-a -3+b)2=2,所以a -b =1,所以a =b +1,所以

0≤b ≤2.CM →·CN →=(a ,3-a)·(b ,3-b)=2ab -3(a +b)+9=2(b +1)b -3(b +1+b)+9=2(b -1)2+4.因为

0≤b ≤2,当b =0或b =2时有 …… 此处隐藏:1762字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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