高考数学复习课件

新课标人教版课件系列

《高中数学》选修2-2

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1.1.2《变化率与导数 -导数的概念》

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教学目标 了解导数概念的实际背景，体会导数的思 想及其内涵 教学重点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内 涵

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问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒) 存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?o t

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65 计算运动员在0 t 这段时间里的平均速度， 4965 h( ) h(0) 10 49

h v 0 t

思考下面问题； 1)运动员在这段时间里是静止的吗？2)你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗？

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瞬时速度. 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 度.又如何求 瞬时速度呢?

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如何求(比如，

当Δt趋近于0时,平均 t=2时的)瞬时速度？ 速度有什么变化趋势?

通过列表看出平均速度的变化趋势

:

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瞬时速度 我们用

h(2 t ) h(2) lim 13.1 t 0 t

表示 “当t=2, Δ t趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?

h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t

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导数的定义:从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

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问题: 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1) =6Δx+(Δx)2再求 再求

f 6 x x y x 0

lim

x

6

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应用：1 2 s 例1 物体作自由落体运动,运动方程为： gt 其 2 2

中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s .求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. 分析:1 s s(t0 t ) s(t0 ) 2 g t g ( t ) 2 2 __ s s(t0 t ) s(t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2

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解:

__

s 1 v 2 g g ( t ) t 2

O s(2) s(2+ t)

(1)将 Δ t=0.1代入上式，得: __

v 2.05g 20.5m / s.

s

(2)将 Δ t=0.01代入上式，得: __

v 2.005g 20.05m / s.__

( 3)当 t 0,2 t 2, 从而平均速度 的极限为： v __ s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t

s

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应用： 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原油的温度(单位：0C)为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2(h) 和第6(h)时，原 由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。关键是求出： f 2 x

x 7 x f x 0

再求出lim

x

2x 7

它说明在第2(h)附近，原油 温度大约以3 0C/h的速度下降； 在第6(h)附近，原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。

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应用： 例3.质量为10kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的 规律做直线运动， (1)求运动开始后4s时物体的瞬时速度；

1 2 (2)求运动开始后4s时物体的动能。 ( E mv ) 2 s 25 t 3 t 2 v lim lim lim (25 3 t ) 25 x 0 t x 0 x 0 t 1 2 1 E mv 10 252 3125( J ) 2 2

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小结： 1求物体运动的瞬时速度：

(1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

(2)求平均速度 s ; v t s (3)求极限 lim lim s(t t ) s(t ) . x 0

t

x 0

t

1由导数的定义可得求导数的一般步骤： (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

(2)求平均变化率 (3)求极限 f ' ( x0 ) lim y x 0

y x

x

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练习： (1)求函数y= x 在x=1处的导数.

4 (2)求函数y= 2 的导数. x