空间解析几何复习重点

(一)向量代数向量的表示方向余弦 内积 外积 混合积

3、向量的表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k 向量的坐标表示式： a {a x , a y , a z }向量的坐标： a x , a y , a z其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影.

2 2 2 | a | a a a 向量模长的坐标表示式 x y z向量方向余弦的坐标表示式

cos cos

ax a x a y az aya x a y az2 2

2

2

2

2

cos

az a x a y az2 2 2

( cos2 cos2 cos2 1 )

4、数量积

(点积、内积) 其中 为a 与b 的夹角

a b | a || b | cos 数量积的坐标表达式

a b a x bx a y by az bza x bx a y b y a z bz a x a y az2 2 2

两向量夹角余弦的坐标表示式

cos a b

bx b y bz

2

2

2

a x bx a y b y a z bz 0

5、向量积

(叉积、外积) 其中 为a 与b 的夹角

| c | | a || b | sin 右手系.

c 的方向既垂直于 a ,又垂直于 b ,指向符合向量积的坐标表达式 a b ( a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j ( a x b y a y bx ) k

i a b ax bx

j ay by

k az bz

a // b

a x a y az bx b y bz

6、混合积ax [ a b c ] ( a b ) c bx cx ay by cy az bz cz

重点 1-2,1-4,1-5

(二)直线和平面方程平面方程直线方程 平面与直线位置关系 平面束 距离、夹角 异面直线

平面的点位式方程

x x0 X1 X2

y y0 Y1 Y2

z z0 Z1 Z2 0

Ax By Cz D 0 平面的一般方程

已知一个平面过空间中的一点 M 0 x0 , y0 , z0 且其法向量为 n X , Y , Z 则平面的点法式方程为：

X x x 0 Y y y0 Z z z 0 0

空间直线的一般方程

A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0

x x 0 y y0 z z 0 m n p

直线的对称式方程

x x0 mt y y0 nt z z pt 0直线的参数方程

平面与直线位置关系 直线与平面平行 平面与平面平行 两直线异面的判定

平面束 定理2.3.1 设两个平面 1 : A1 x B 1 y C1 z D1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0

交于一条直线 ，则以 l 为轴的共轴平面束方 程是

A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0,其中 , 是不全为零的任意实数.适用于求过已知直线的平面方程

距离、夹角点到直线的距离d M 0M v v .M0Md

v

l

推论 2 :点 M0 ( x0 , y0 , z0

) 与平面

图2.8

Ax By Cz D 0 之间的距离为

d

Ax By Cz D A B C2 2 2

两异面直线之间的距离M M ,v ,v d .1 2 1 2

v1 v2

P2d

M2

v2

l2

P 1

M1 v1 l1

异面直线l M1 v1

l1

v1 v2

x x1 y y1 z z1 X1 Y1 Z1 0 X Y Z x x2 y y2 z z 2 X2 Y2 Z2 0 X Y Z

1

M2

v2

2l2

图2.10

公垂线方程

例2.4.5 试求直线 x y z 1 0,

l : x y z 1 0 在平面 : x y z 0 上的射影直线方程，并求 l 与 的夹角. 解 直线 l 的方向向量为 1,1, 1 1, 1,1 2 0,1,1 为简单起见，取为 v 1,1,1 . 又平面 的法向量 n 1,1,1 . 依公式(2.4.9),直线 l 与平面 的夹角 满足nv 6 sin . n v 3

下面求直线 l 在平面 上的射影直线方程.

6 所以 arcsin . 3