第3章 傅里叶变换
时间：2025-04-13
信号与系统课件 郑君里(第三版)
第三章 傅里叶变换
3.2 周期信号的傅里叶级数分析,频率f1 1/ T1
(1) 三角函数形式的傅里叶级数 若f(t)的周期为T1,角频率 1 2 / T1 里叶级数展开式为：
,则傅
f (t ) a0 [a1 cos 1t b1 sin 1t ] [a2 cos 2 1t b2 sin 2 1t ] [an cos n 1t bn sin n 1t ] a0 (an cos n 1t bn sin n 1t )n 1
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式中
1 t0 T1 a0 f (t )dt t T1 0 2 t0 T1 an f (t ) cos n 1tdt t T1 0 2 t0 T1 bn f (t ) sin n 1tdt t T1 0
积分区间 (t0 , t0 T1 ) 一般取 (0, T1 ) 或 ( T1 / 2, T1 / 2)
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例1
f (t )
2
o 1
2
t
a0 0 (n 0,1, 2, ) 4 (n 1,3,5, ) bn n 0 (n 2, 4, 6, ) 4 1 f (t ) [sin t sin 3t 3
1 sin(2n 1)t 2n 1
] (n 0, , 2 , )
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周期函数理想的傅里叶级数分解包含无穷多项，在实际应用 中只可能用有限多项进行近似，必须选取足够多项以保证误差 在允许的范围内。0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4
0
10
20
30
40
50
60
n 11
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0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4
0
10
20
30
40
50
60
n 21
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0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4
0
10
20
30
40
50
60
n 31
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利用三角函数关系，可以化为标准的三角形式：f (t ) a0 (an cos n 1t bn sin n 1t )n 1
f (t ) c0 cn cos(n 1t n )n 1
f (t ) d 0 d n sin(n 1t n )n 1
a0 c0 d 0 2 2 cn d n an bn an cn cos n d n sin n bn cn sin n d n cos n an tan n bn bn tan n an
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cn
c1c0
nc2
c3
O
1 3 1幅度谱
n 1
O
1 3 1相位谱
n 1
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“狄利克雷”条件： 若f(t)为周期函数，则必须满足下列条件才能进行傅里叶级 数展开: (1) 在一个周期内， f(t)的间断点的个数有限； (2) 在一个周期内， f(t)的极大值和极小值的个数有限； (3) 在一个周期内， f(t)绝对可积，即
t0 T1
t0
f (t ) dt
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2 指数形式的傅里叶级数f (t ) a0 (an cos n 1t bn sin n 1t )n 1
由欧拉公式
1 jn 1t cos n 1t (e e jn 1t ) 2 1 sin n 1t (e jn 1t e jn 1t ) 2j
an jbn jn 1t an jbn jn 1t f (t ) a0 ( e e ) 2 2 n 1 a0 [ F (n 1 )e jn 1t F ( n 1 )e jn 1t ]n 1
F0 [ Fn en 1
jn 1t
F n e
jn 1t
]
n
Fn e jn 1t
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t 0 T an jbn 1 t0 T F (n 1 ) [ f (t ) cos n 1tdt j f (t ) sin n 1tdt ] t t 0 2 T 0 1 t0 T1 f (t )e jn 1t dt T1 t0 t 0 T an jbn 1 t0 T F ( n 1 ) [ f (t )
cos n 1tdt j f (t ) sin n 1tdt ] t t 0 2 T 0 1 t0 T1 f (t )e jn 1t dt T1 t0
1 Fn T1
t0 T1
t0
f (t )e jn 1t dt
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FnF0
F0 a0 b0 c0 Fn Fn e j n 1 (an jbn ) 2 1 j n (an jbn ) Fn F *n F n Fn e 2 1 1 1 2 2 F F c d a b n n n n n n 2 2 2 an Fn F n bn j ( Fn F n ) c 2 d 2 a 2 b 2 4 F F n n n n n n
n 1
1O 1
n 1
n 1O
nn 1
FnF0
n 1
n 1 1O 1
复数谱
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复数谱包含正、负频率，负频率是数学运算的结果，没有实 际的物理意义，但是在计算信号幅度谱时必须把对称的正、负 频率的两条谱线合并起来才能得到真正的幅度谱。 周期信号的谱为离散谱。
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周期信号的功率与傅里叶系数的关系(帕斯瓦尔定理):1 t0 T1 2 1 2 2 2 P f (t ) f (t )dt a0 (an bn ) T1 t0 2 n 12 1 2 2 c cn F0 2 Fn 2 n 1 n 1 2 0 2
F02
n 2
1
Fn Fn2 n 1
2
n
Fn
上式表明，周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波 分量有效值的平方和，也即时域和频域功率守恒。
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3. 函数的对称性与傅里叶系数的关系E
(1) 偶函数f (t ) f ( t )
f (t )
an
2 4 f ( t ) cos n tdt 1 T1 T1 / 2 T1 0T1 / 2
T1 / 2
f (t ) cos n 1tdt
T1 2
0
T1 2
t
2 T1 / 2 bn f (t ) sin n 1tdt 0 T / 2 1 T1 an cn d n 2 Fn f (t ) an cos n 1tn 0
Fn F n
an 2
n 0
n
2
偶函数只含基波及其各次谐波的余弦项， 可能有直流也可能无直流。
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(2) 奇函数f ( t ) f (t ) T1 2
f (t )E 2T1 2
o E 2
t
2 T1 / 2 an f (t ) cos n 1tdt 0 a0 0 T / 2 T1 1 2 T1 / 2 4 T1 / 2 bn f (t ) sin n 1tdt f (t ) sin n 1tdt T / 2 0 T1 1 T1 bn cn d n 2 jFn f (t ) bn sin n 1tn 1
Fn F n j
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