高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

用心 爱心 专心 - 1 - 2011高考数学萃取精华30套（24）

1. 德兴二模

21．正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1．

(1) 试求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n +1

，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．

21．（1）∵a n >0，12+=n n a S ，∴2112)1(4,)1(4+=+=--n n n n a S a S ，则当n ≥2时，

,2241212----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，而a n >0，∴)2(21≥=--n a a n n

又12,1,12111-==∴+=n a a a S n 则 …………………6分 (2) 21)1211(21),121121(21)12)(12(1<+-=∴+--=+-=n T n n n n b n n …12分

22．已知函数f (x )定义在区间（－1，1）上，f (12)＝－1，且当x ，y ∈(－1，1)时，

恒有f (x )－f (y )＝f (x －y 1－xy )，又数列{a n }满足a 1＝12，a n +1＝2a n 1+a n 2，设b n ＝1f (a 1)＋1f (a 2)＋…＋1f (a n )．

⑴证明：f (x )在（－1，1）上为奇函数；⑵求f (a n )的表达式；

⑶是否存在正整数m ，使得对任意n ∈N ，都有b n <m －84成立，若存在，求出

m 的最小值；若不存在，请说明理由．

22．（1）令x ＝y ＝0，则f (0)＝0，再令x ＝0，得f (0)－f (y )＝f (－y )，

∴f (－y )＝－f (y )，y ∈(－1，1)，∴f (x )在（－1，1）上为奇函数．…………………3分

（2）),1()()()1(,1)21

()(1xy

y x f y f x f f a f ++=+-==知由 )(2)()()1()12()(21n n n n n n n n n n a f a f a f a a a a f a a f a f =+=⋅++=+=∴+，即2)

()(1=+n n a f a f ∴{f (a n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f (a n )＝－12n -．……………7分

高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

用心 爱心 专心 - 2 - （3）11221221121

1)2121211(--+-=--

-=+⋯+++-=n n n n b ． 若4

8-<m b n 恒成立（n ∈N ＋），则.242421211-->-<+-n n m ，m 即 ∵n ∈N ＋，∴当n ＝1时，1

24-n 有最大值4，故m >4．又∵m ∈N ，∴存在m ＝5，使 得对任意n ∈N ＋，有4

8-<m b n ． …………………………………………………14分 2. 衢州二模

20．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈，有,,n n n a S 成等差数列． （Ⅰ）记数列*1(N )n n b a n =+∈，求证：数列{}n b 是等比数列． （Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和为n T ，求满足

221117227

n n T n T n ++<<++的所有n 的值． (20) 本题满分14分

（Ⅰ）证明：n a S n n -=2， )1(211+-=++n a S n n

12122111+=⇒--=⇒+++n n n n n a a a a a ， 11122211

n n n n n n b a a b a a ++++===++ 又由11112 1 1S a a a ==-⇒= 所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列…………………(7分) （Ⅱ）解：12n n n b a =+=，21n n a =-

122n n T n +=--，

22111172227

n n n T n T n ++⎛⎫<=< ⎪++⎝⎭ 所以n 的值为3，4……………………………………………………(14分)

21．（本小题满分15分） 已知函数3221()231(1)3

f x x ax a x a =-+->．

高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

用心 爱心 专心 - 3 - （Ⅰ）求函数()y f x =的极小值；

（Ⅱ）若对任意x ∈[1,2]-, 恒有2()21f x a ≤-，求a 的取值范围．

（21）本题满分15分

(Ⅰ) 解:)3)((34)(22'a x a x a ax x x f --=+-=,因为1>a ，所以a a >3，)(x f 的极

小值为1)3(-=a f ……………………………………………(6分)

(Ⅱ) 解: 若21≤<a 时，当[]a x ,1-∈时)(,0)(/x f x f >在[]a ,1-上递增，

当[]2,a x ∈时/()f x ＜0,()f x 在[]2,a 上递减，所以)(x f 的最大值为134)(2-=a a f ，令224121,12,123

a a a R a a -≤-⇒∈<≤<≤又所以； 若2>a 时，当[]2,1-∈x 时)(,0)(/x f x f >在[]2,1-上递增，所以)(x f 的最大

值为

0263123

586,3586)2(2222≤+-⇒-≤+-+-=a a a a a a a f 令 3

61361+<<-⇒a ，又2>a ，所以无解。 由上可在知12a <≤……………………………………………(15分)

22．（本小题满分15分）

已知圆P 过点1

(0,)4F , 且与直线14

y =-相切． （Ⅰ）求圆心P 的轨迹M 的方程；

（Ⅱ）若直角三角形ABC 的三个顶点在轨迹M 上，且点B 的横坐标为1，过点A C 、分别作轨迹M 的切线，两切线相交于点D ，直线AC 与y 轴交于点E ，当直线BC 的斜率在

[34]，上变化时，直线DE 斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线BC 的方程；若不存在，请说明理由？

(22) 本题满分15分

(Ⅰ) 解：（1）py x 22=，y x p ==2,2

1所以…………………………(5分) (Ⅱ) 解: B )1,1(，设()211,x x A ，()222,x x C ，212

12221x x x x x x k AC +=--= O y x ⋅F

高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

用心 爱心 专心 - 4 - 设BC 的斜率为k,则

,01)1(122=-+-⇒⎩⎨⎧=-=-k kx x y

x x k y 0442≥+-=∆k k ，

又1,1-=⇒=+k x k x c c ，C ),)1(,1(2--k k A ),)11(,11(2+--k

k 2121--=+=k

k x x k AC ， 直线AC 的方程为[])1()21()1(2----

=--k x k k k y ， 令⎪⎭⎫ ⎝⎛--

==k k k k y x 10,E ,1,0所以 AD:21111212)(2x x x y x x x x y -=⇒-=-

同理CD:2222x x x y -=，联立两方程得D ⎪⎭

⎫ ⎝⎛---k k k k 1),21(21 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=++---=-+-=-+-+-

=k k k k k k k k k k k k k k k k ED 122141214)12(2112)12(211122 令[]上在则4,3,1u k k u -=

递减，所以，当3=k 时，ED k 最大为8 所以，BC 的方程为(),131-=-x y 即023=--y x ……………………………(15分)

3. 大同一模

22、(本题满分16分)

如图，P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的投影是D ，点M 满足12

DM DP =. （1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点,A B ，求以,OA OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程.

（3）若存在点(,0)Q a ，使得四边形QAFB 为菱形（,A B 意义同（2）），求实数a 的取

高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

用心 爱心 专心

- 5 -

值范围.

解：（1）动点M 的轨迹C 的方程：2

214

x y += （2）顶点E 的轨迹方程：2

2

8

460(0)3

x y x x +-=<< （3）实数a 的取值范围：()0,1

23、（本题满分18分）

若无穷等差数列}{n a 中，11=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，其中c S S n

n

=2（c 为常数） （1）求d 的值；

（2）若0>d ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且n a n b 2=

，若对于任意的正整数n 总有

2

2

1n n n T T m T ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.

解：（1）20d ord == （2）7

9

m ≤

19、（本题满分14分）如图，椭圆b

y a x 2

22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有

且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=2

3

. (Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2

121||||||2

AT AF AF ＝ 。

19解：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为

12

x

y += O

P

D M x

y

高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

用心 爱心 专心 - 6 - 因为由题意得22

22

1112

x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩有惟一解。 即2222221()04

b a x a x a b +-+=有惟一解, 所以2222(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠，

故22(44)0a b +-=

又因为 32

c =,即22234a b a -= ， 所以224a b = 从而得2212,,2

a b == 故所求的椭圆方程为2

2212

x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）得62

c =, 所以 1266(,0),(,0)22

F F - 由 22

22

1112

x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩解得 121,x x ==, 因此1(1,)2T =.

从而 254

AT =, 因为1252AF AF ⋅=, 所以21212

AT AF AF =⋅ ……12分 20．（本小题满分14分） 已知数列}{),,2(2,43,41:}{*1121n n n n n b N n n a a a a a a 数列满足∈≥+===

-+满足：.}{),,2(3,0*11n n n n S n b N n n n b b b 项和为的前数列∈≥=-<- （I ）求证：数列}{n n a b -为等比数列；

高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

用心 爱心 专心 - 7 - （II ）求证：数列}{n b 为递增数列； （III ）若当且仅当1,,3b S n n 求取得最小值时=的取值范围。

20．解：（I ）),2(2*11N n n a a a n n n ∈≥+=-+ }{n a ∴是等差数列

又43

,41

21==a a 41

221)1(41

-=⋅-+=∴n n a n 2分 ),2(331*1N n n n

b b n n ∈≥+=- )41

2(31121231412313111--=--=+-++=-∴++n b n b n n b a b n n n n n )(31

n n a b -= 5分

又041

111≠-=-b a b 41}{1--∴b a b n n 是为首项，以31

为公比的等比数列 6分 （II ）41

2,)31()41(11-=⋅-=--n a b a b n n n n 41

2)31()41(11-+⋅-=∴-n b b n n

当2

11)31)(41(3221,2----=-≥n n n b b b n 时

又01<b 01>-∴-n n b b }{n b ∴是单调递增数列 9分

（III ）3=n 当且仅当 时,取最小值n S ⎩⎨⎧><∴0

43b b

即,0

)31)(41(470

)31)(41(453

12

1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+b b

)11,47(1--∈∴b 12分

高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

用心 爱心 专心 - 8 -

21．（本小题满分14分）

已知函数).0(31)(,1

2)(232≠-=+=a x a ax x g x x x f （I ）当)(,]3,0[x f x 求时∈的值域；

（II ）对于任意)(6

1)(],3,0[],3,0[2121x g x f x x =∈∈使总存在成立，求实数a 的取值范围。

21．解：（I ）22222)1()

1)(1(2)1(22)(+-+=+-='x x x x x x f x 0 （0，1） 1 （1，3） 3 )(x f ' + 0 - )(x f 0 1 53

]1,0[)(的值域为函数x f ∴ 4分

（II ）设]3,0[∈x 时，函数)(61

x g y =的值域为A ，

]3,0[1∈x 对于任意 ，

总存在)(61

)(],3,0[212x g x f x =∈使

A ⊆∴]1,0[

)()(222a x a a ax x g -=-='

（1）当)3,0(,0∈<x a 时时，

)3,0()(,0)(在函数x g x g <'上单调递减， )0()()3(g x g g ≤≤∴

0)0(=g

A ⊆∴]1,0[不满足 …………………………8分

（2）当0>a 时，

),)(()(a x a x a x g +-='

令,0)(='x g

高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

用心 爱心 专心 - 9 - a x a x -==∴21或（舍去）

①当90,30<<<<a a 即时，列表如下： x 0 ),0(a a )3,(a 3 )(x g ' - 0 + )(x g 0 a a 232-

239a a -

,0)(,0)0(==a g g 若A ⊆]1,0[，

则1)39(61

)3(61

2≥-=a a g

21≤≤∴a ……………………………… 11分

②当9,3≥≥a a 即时，)3,0(∈x 时，

,0)(<'x g 函数)3,0()(在x g 上单调递减

)0()()3(g x g g ≤≤∴

,0)0(=g

A ⊆∴]1,0[不满足 …………………… 13分

综上，实数a 的取值范围是.21≤≤a ………………………… 14分