高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

高考数学萃取精华试题(24)新人教A版

用心 爱心 专心 - 1 - 2011高考数学萃取精华30套（24）

1. 德兴二模

21．正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1．

(1) 试求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n +1

，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．

21．（1）∵a n >0，12+=n n a S ，∴2112)1(4,)1(4+=+=--n n n n a S a S ，则当n ≥2时，

,2241212----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，而a n >0，∴)2(21≥=--n a a n n

又12,1,12111-==∴+=n a a a S n 则 …………………6分 (2) 21)1211(21),121121(21)12)(12(1<+-=∴+--=+-=n T n n n n b n n …12分

22．已知函数f (x )定义在区间（－1，1）上，f (12)＝－1，且当x ，y ∈(－1，1)时，

恒有f (x )－f (y )＝f (x －y 1－xy )，又数列{a n }满足a 1＝12，a n +1＝2a n 1+a n 2，设b n ＝1f (a 1)＋1f (a 2)＋…＋1f (a n )．

⑴证明：f (x )在（－1，1）上为奇函数；⑵求f (a n )的表达式；

⑶是否存在正整数m ，使得对任意n ∈N ，都有b n <m －84成立，若存在，求出

m 的最小值；若不存在，请说明理由．

22．（1）令x ＝y ＝0，则f (0)＝0，再令x ＝0，得f (0)－f (y )＝f (－y )，

∴f (－y )＝－f (y )，y ∈(－1，1)，∴f (x )在（－1，1）上为奇函数．…………………3分

（2）),1()()()1(,1)21

()(1xy

y x f y f x f f a f ++=+-==知由 )(2)()()1()12()(21n n n n n n n n n n a f a f a f a a a a f a a f a f =+=⋅++=+=∴+，即2)

()(1=+n n a f a f ∴{f (a n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f (a n )＝－12n -．……………7分

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用心 爱心 专心 - 2 - （3）11221221121

1)2121211(--+-=--

-=+⋯+++-=n n n n b ． 若4

8-<m b n 恒成立（n ∈N ＋），则.242421211-->-<+-n n m ，m 即 ∵n ∈N ＋，∴当n ＝1时，1

24-n 有最大值4，故m >4．又∵m ∈N ，∴存在m ＝5，使 得对任意n ∈N ＋，有4

8-<m b n ． …………………………………………………14分 2. 衢州二模

20．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈，有,,n n n a S 成等差数列． （Ⅰ）记数列*1(N )n n b a n =+∈，求证：数列{}n b 是等比数列． （Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和为n T ，求满足

221117227

n n T n T n ++<<++的所有n 的值． (20) 本题满分14分

（Ⅰ）证明：n a S n n -=2， )1(211+-=++n a S n n

12122111+=⇒--=⇒+++n n n n n a a a a a ， 11122211

n n n n n n b a a b a a ++++===++ 又由11112 1 1S a a a ==-⇒= 所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列…………………(7分) （Ⅱ）解：12n n n b a =+=，21n n a =-

122n n T n +=--，

22111172227

n n n T n T n ++⎛⎫<=< ⎪++⎝⎭ 所以n 的值为3，4……………………………………………………(14分)

21．（本小题满分15分） 已知函数3221()231(1)3

f x x ax a x a =-+->．

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用心 爱心 专心 - 3 - （Ⅰ）求函数()y f x =的极小值；

（Ⅱ）若对任意x ∈[1,2]-, 恒有2()21f x a ≤-，求a 的取值范围．

（21）本题满分15分

(Ⅰ) 解:)3)((34)(22'a x a x a ax x x f --=+-=,因为1>a ，所以a a >3，)(x f 的极

小值为1)3(-=a f ……………………………………………(6分)

(Ⅱ) 解: 若21≤<a 时，当[]a x ,1-∈时)(,0)(/x f x f >在[]a ,1-上递增，

当[]2,a x ∈时/()f x ＜0,()f x 在[]2,a 上递减，所以)(x f 的最大值为134)(2-=a a f ，令224121,12,123

a a a R a a -≤-⇒∈<≤<≤又所以； 若2>a 时，当[]2,1-∈x 时)(,0)(/x f x f >在[]2,1-上递增，所以)(x f 的最大

值为

0263123

586,3586)2(2222≤+-⇒-≤+-+-=a a a a a a a f 令 3

61361+<<-⇒a ，又2>a ，所以无解。 由上可在知12a <≤……………………………………………(15分)

22．（本小题满分15分）

已知圆P 过点1

(0,)4F , 且与直线14

y =-相切． （Ⅰ）求圆心P 的轨迹M 的方程；

（Ⅱ）若直角三角形ABC 的三个顶点在轨迹M 上，且点B 的横坐标为1，过点A C 、分别作轨迹M 的切线，两切线相交于点D ，直线AC 与y 轴交于点E ，当直线BC 的斜率在

[34]，上变化时，直线DE 斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线BC 的方程；若不存在，请说明理由？

(22) 本题满分15分

(Ⅰ) 解：（1）py x 22=，y x p ==2,2

1所以…………………………(5分) (Ⅱ) 解: B )1,1(，设()211,x x A ，()222,x x C ，212

12221x x x x x x k AC +=--= O y x ⋅F

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用心 爱心 专心 - 4 - 设BC 的斜率为k,则

,01)1(122=-+-⇒⎩⎨⎧=-=-k kx x y

x x k y 0442≥+-=∆k k ，

又1,1-=⇒=+k x k x c c ，C ),)1(,1(2--k k A ),)11(,11(2+--k

k 2121--=+=k

k x x k AC ， 直线AC 的方程为[])1()21()1(2----

=--k x k k k y ， 令⎪⎭⎫ ⎝⎛--

==k k k k y x 10,E ,1,0所以 AD:21111212)(2x x x y x x x x y -=⇒-=-

同理CD:2222x x x y -=，联立两方程得D ⎪⎭

⎫ ⎝⎛---k k k k 1),21(21 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=++---=-+-=-+-+-

=k k k k k k k k k k k k k k k k ED 122141214)12(2112)12(211122 令[]上在则4,3,1u k k u -=

递减，所以，当3=k 时，ED k 最大为8 所以，BC 的方程为(),131-=-x y 即023=--y x …………………………… …… 此处隐藏：4165字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……