《概率论与数理统计》第7章 参数估计(点估计)

第七章

参数估计(点估计)参数估计 非参数估计 点估计 (§7.1-§7.3 ) 区间估计

估计问题

统计推断：

假设检验问题

一、点估计的基本概念 二、估计量的评选标准

三、矩估计法四、最大似然估计法第七章 参数估计(点估计) 1

一、点估计的基本概念设总体 X 分布函数形式已知, 但参数(一个/多个)未知， 借助样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计. 点估计问题描述：总体 X 的分布函数 F(x;θ) 的形式已知， θ未知； —— 估计量 构造统计量 ( X , , X ) ;1 n

用 ( x1 , , xn ) 作为θ的近似值 .

—— 估计值

估计

注: 1. 如何评价估计量好坏？ 估计量评选标准2. 常用的点估计方法： 矩估计法、最大似然估计法第七章 参数估计(点估计) 2

二、估计量的评选标准定义 设 X1, X2, …, Xn 是总体X的一个样本， 是总体待估参数. 1.(无偏性) 若估计量 满足 E ( ) , 则称 是 无偏估计量.

2.(有效性) 若估计量 1 , 2无偏且 D( 1 ) D( 2 ), 则称 1比 2有效. P 3.(相合性) 若估计量 满足 , 则称 是 相合估计量. n

注: 1. 无偏:

的值在 真值附近摆动;

2. 有效: 的值在 真值附近的摆动尽可能小； 3. 相合: 当样本容量增大时， 的值稳定于 的真值.第七章 参数估计(点估计) 3

例1. 判断下列命题是否正确：(1) X 是 E(X) 的无偏估计;(2) S 2 是 D(X) 的无偏估计; (3) X 是 E(X) 的相合估计.

√ √ √D( X ) .2

例2. 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本，且E(X ) ,

则

C

不是 的无偏估计. 无偏估计

A

更有效.

A) XC) X 1 X 2

B) 0.2 X 1 0.5 X 2 0.3 X n D) X 1 X 2 X 3第七章 参数估计(点估计) 4

三、矩估计法定理(矩估计法原理) 设 X1, X2, …, Xn 是总体 X 的样本，则n k 1 X i Ak n i 1

k E ( X k ). n P

证: ∵ X1 , X 2 , , X n 独立且与 X 同分布，k k ∴ X 1k , X 2 , , X n 独立且与 Xk 同分布，且 E ( X ik ) k .n k 1 X i Ak 根据辛钦大数定律可知， i 1 n

k . n P

注: 1. 意义: Ak (样本 k 阶矩) 是 k (总体 k 阶矩)的相合估计；1 2 s 1 2 s

P 2. 推广: 若 g 连续, 则 g( Ak , Ak , , Ak ) g( k , k , , k ); n

3. 矩法的基本思想: 用样本矩(的函数)估计总体矩(的函数).第七章 参数估计(点估计) 5

设总体X的分布函数 F ( x, 1 , 2 , , k )形式已知, i 为待估参数. 矩估计法的解题步骤: 1 h1 ( 1 , 2 , , k ), 1. 建立 i 与 i 的联系： h

( , , , ). k 1 2 k k

1 g 1 ( 1 , 2 , , k ), 2. 求解 i : g ( , , , ). k 1 2 k k

1 g ( A , A , , A ), 1 1 2 k 3. 以 Ai 代替 i ,得： -- 矩估计量 k g k ( A1 , A2 , , Ak ) .第七章 参数估计(点估计) 6

(p149例1) 例3. 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数 X 服从参数为 λ> 0的泊松分布, 其中λ未知. 试由以下样本值估计参数λ :着火的次数 k 发生 k 次着火天数 n k 0 75 1 90 2 54 3 22 4 6 5 2 6 1

250

解: 一阶总体矩为： 1即

E(X ) ,

1 .

以样本矩代替总体矩得 估计量： A1 X 1250

X ni 1

n

i

,

估计值： 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22.第七章 参数估计(点估计) 7

(p151例3) 例4-1. 设总体 X 的均值 、方差 2 都存在, 且 2 0 , 其中 , 2 未知. 设 X1, X2, …, Xn 是一个样本, 求 , 2 的矩估计量.

解:

1 E ( X ) , 一, 二阶总体矩为： 2 E ( X 2 ) DX ( EX ) 2 2 2 . 1 , 解得： 2 2 12 . A X , 1 以样本矩代替总体矩得： 2 n 2 2 A A2 1 Xi X 2 1 n

本题结论不依赖具体分布!

1 n

n

i 1 2

( X i X ) B2 .8

i 1

第七章 参数估计(点估计)

1 x , 例5-1. 设总体 X 的概率密度为 f x 0,

0 x 1, 其他.

其中 0 为未知参数，试求参数 的矩估计量.

解: ∵ 1

E(X )

1

xf ( x )d x

0

x 1 x dx 1 . 2

2 1 1 . ∴ 1 1

2 A1 1 2 X 1 . 以样本矩代替总体矩得： 1 A1 1 X第七章 参数估计(点估计) 9

(p151例2)

例6-1. 设总体 X ~ U[a, b],其中 a, b 未知. X1, X2, …, Xn 是一个样本, 求 a, b 的矩估计量. 1 E ( X ) (a b ) 2 , 2 2 解: 由于： E ( X 2 ) (b a ) (a b ) 2 DX ( EX ) . 2 12 4 a 3( 2 ) , a b 2 1 , 1 2 1 解得： 即： 2 2 b a 12( 2 1 ) . b 1 3( 2 1 ) .

以样本矩代替总体矩得： a A 1 b A1 3( A2 A1 ) X 2

3( i X i 3( i X i

2

n X ), n X ).10

2

3( A2 A1 ) X 2

2

2

第七章 参数估计(点估计)

四、最大似然估计法定义 若 X ~ P ( X x ) p( x; ) (离散型) 或 X ~ f ( x; ) (连续型), 令 或L( x1 , x2 , , xn ; ) P ( X1 x1 , , X n xn )

n n i 1

p( xi ; ),

L( x1 , x2 , , xn ; ) f ( x1 , , xn ) f ( xi ; ), i 1

称 L( x1 , x2 , , xn ; ) 为样本的似然函数，简记为 L( ) . 称使 L( ) 取值最大的 ( x1 , , xn ) 为 的最大似然估计值, ( X 1 , , X n ) 为 的最大似然估计量.

注: 1. 最大似然估计法的基本思想：打猎问题选取使样本值 x1,…,x …… 此处隐藏：2583字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……