5.1 平面向量的概念及线性运算 高三数学总复习讲义Word版含答案

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§5.1平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

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2.向量的线性运算

3.共线向量定理

向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 知识拓展

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—————→＋A 2A 3—————→＋A 3A 4—————→＋…＋A n －1A n —————————→＝A 1A n —————→

，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →

)．

3.OA →＝λOB →＋μOC →

(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ )

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(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )

(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × )

(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ )

(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × )

题组二 教材改编

2．[P86例4]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，

BC →＝________.(用a ，b 表示)

答案 b －a －a －b

解析

如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .

3．[P108B 组T5]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状

为________．

答案 矩形

解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.

由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．

题组三 易错自纠

4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .

若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.

答案 12

解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，

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使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩

⎪⎨⎪⎧

λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23

BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

答案 12

解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23

BC → ＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23

AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.

题型一 平面向量的概念

1．给出下列四个命题：

①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；

③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；

④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .

其中正确命题的序号是( )

A ．②③

B ．①②

C ．③④

D ．②④ 答案 A

解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；

②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，

又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，

∴四边形ABCD 为平行四边形，

反之，若四边形ABCD 为平行四边形，

则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →；

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③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，

又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，

∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；

④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.

2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 答案 D

解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

思维升华 向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．

题型二 …… 此处隐藏：6384字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……