10-2_平面简谐波的波函数

物理学第五版

10-2 平面简谐波的波函数

一

平面简谐波的波函数

设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u,坐标原点 O处质点的振动方程为

yO A cos t uP

y

A

x

A

O

x

第十章

波动

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yO A cos t

yO 表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上P点(坐标 x), P点比 O点的振 x 动落后 t , P 点在 t 时刻的位移是O点在u t Δt 时刻的位移，由此得y

A

uP

x

A

O

x

第十章

波动

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yP yO (t Δt ) Acos ω t Δt φ x Acos t u 由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程.第十章 波动

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2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式： x y A cos t u t x A cos 2 π T 2 πx A cos t 第十章 波动4

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波函数x y A cos[ (t ) ] u

质点的振动速度，加速度 y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u第十章 波动5

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二

波函数的物理含义2π2πx y A cos t

1 x一定， 变化 t 令

x

yO

则 y A cos t

t

表示 x点处质点的振动方程( y — t 的关系)y ( x, t ) y ( x, t T ) (波具有时间的周期性)第十章 波动6

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波线上各点的简谐运动图

第十章

波动

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2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C(定值) 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形(y — x的关系)y

o第十章 波动

x8

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3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.

yO

ux第十章 波动9

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4 沿 x轴方向传播的波动方程 如图，设 O 点振动方程为

yO A cos t x P 点振动

比O点超前了 Δt uy

A

uP xx

A

O

第十章

波动

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故P点的振动方程(波动方程)为：

x y yo (t t ) A cos[ (t ) ] u对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播.

从形式上看：波动是波形的传播.第十章 波动11

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例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A 1.0 m, 2.0 s, 2.0 m. 在 t 0 T λ 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 (1)波动方程；(2)t 1.0 s波形图； 运动. 求：(3) x 0.5 m 处质点的振动规律并作图. 解 (1) 写出波动方程的标准式

t x y A cos[2π ( ) ] T 第十章 波动12

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t x y A cos[2π ( ) ] T t 0 x 0π y y 0, v 0 2 t t x π y cos[2π( ) ] (m) 2.0 2.0 2O

A

y

第十章

波动

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(2)求 t 1.0s 波形图 t x π y 1.0 cos[2π( ) ] 2.0 2.0 2 π y (1.0) cos[ π x] 2 t 1.0 s sin πx (m) 波形方程y/m

1.00

2.0t 1.0 s第十章

x/m

-1.0

时刻波形图波动14

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(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y (1.0) cos[2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程

y cos[π t π] (m)y3 4 1.0y/m

3 *

4 2 * 2.0 * t / s * 1.0 0 O 2 * 1 -1.0*1 x 0.5 m 处质点的振动曲线第十章 波动15

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例2 一平面简谐波以速度 u 20 m s -1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A 3 10 2 cos(4 π t ) ; ( y, t 单位分别为m,s). 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ,CD 两点间的相位差.

u8m C B第十章

5m

9m D

oA波动

x16