3.2 一元二次不等式及其解法(第1课时)

学习目标

1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.

2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.

合作学习

一、设计问题,创设情境

问题1:观察不等式x 2-4x<0和-x 2+x+2>0,它们有什么共同特征?怎样给这样的不等式命名?它的一般形式是什么?

问题2:请尝试求解不等式x 2-4x<0.

问题3:两种方法分别体现了什么样的数学思想?哪种方法更简洁、直观?请同学们用这种方法求不等式-x 2+x+2>0的解集.

问题4:用数形结合的方法求解一元二次不等式的解集,主要关注相应二次函数图象的什么特征?

问题5:上面的方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax 2+bx+c>0或

ax 2+bx+c<0(a>0)解集吗?相应的二次函数图象与x 轴的交点情形确定吗?由谁决定?怎么处理?(分类讨论)请大家探究.

根据探究的情形,完成下表:

续表

问题6:当二次项系数a<0时,怎样处理呢?请大家思考解一元二次不等式的一般步骤,并完成下面的程序框图.

二、运用规律,解决问题

【例题】解下列不等式:

(1)4x 2-4x+1>0;

(2)-x 2+2x-3>0.

三、变式训练,深化提高

变式训练1:解下列不等式:

(1)-x 2+2x+8≥0;

(2)x2-6x+9≤0.

变式训练2:请同学们自己编两道解一元二次不等式的题目,并由同位给出解答,交流解答结果.

四、反思小结,观点提炼

问题7:本节课我们主要用什么思想方法推导了一元二次不等式的解法?这种思想对一般的不等式f(x)>0可以求解吗?具体步骤是什么?类似的你能用这种方法求不等式f(x)>k的解集吗?

参考答案

一、设计问题,创设情境

问题1:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2;一元二次不等

式;ax2+bx+c>0(<0)(a≠0).

问题2:(数形结合)设f(x)=x2-4x,画出其图象.

容易知道方程x2-4x=0的根x

1=0,x

2

=4,就是函数f(x)=x2-4x的零点,也就是函

数f(x)=x2-4x的图象与x轴交点的横坐标.

而不等式x2-4x<0的解集,即f(x)<0的解集,也就是函数f(x)=x2-4x图象在x 轴下方的部分对应的横坐标的取值集合为{x|0<x<4}.

(化归转化)不等式x2-4x<0可以化为x(x-4)<0,由“符号法则”得

或

解得{x|0<x<4}.

问题3:函数思想、数形结合思想和化归转化思想;数形结合;{x|-1<x<2}.

问题4:开口方向和图象与x轴交点的横坐标.

问题5:能;不确定;判别式Δ;分类讨论.

Δ>0 Δ=0 Δ<0